यदि $\left| \begin{array}{ccc} a & a^2 & 1 + a^3 \\ b & b^2 & 1 + b^3 \\ c & c^2 & 1 + c^3 \end{array} \right| = 0$ और सदिश $\vec{a} = (1, a, a^2)$,$\vec{b} = (1, b, b^2)$,और $\vec{c} = (1, c, c^2)$ असमतलीय हैं,तो $abc$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $M = \begin{bmatrix} 0 & -\alpha \\ \alpha & 0 \end{bmatrix}$,जहाँ $\alpha$ एक शून्येतर वास्तविक संख्या है और $N = \sum_{k=1}^{49} M^{2k}$ है। यदि $(I - M^2)N = -2I$ है,तो $\alpha$ का धनात्मक पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A_1, A_2, A_3$ तीन समांतर श्रेणियाँ ($A$.$P$.) हैं जिनका सार्व अंतर $d$ समान है और उनके प्रथम पद क्रमशः $A, A+1, A+2$ हैं। मान लीजिए $a, b, c$ क्रमशः $A_1, A_2, A_3$ के $7^{\text{th}}, 9^{\text{th}}, 17^{\text{th}}$ पद हैं,इस प्रकार कि $\left|\begin{array}{lll} a & 7 & 1 \\ 2b & 17 & 1 \\ c & 17 & 1\end{array}\right|+70=0$ है। यदि $a=29$ है,तो उस समांतर श्रेणी के प्रथम $20$ पदों का योग,जिसका प्रथम पद $c-a-b$ और सार्व अंतर $\frac{d}{12}$ है,$........$ के बराबर है।

मैट्रिक्स $A = \begin{bmatrix} 0 & 2x & 2x \\ 2y & y & -y \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$ और $x \neq y$,जिसके लिए $A^T A = 3I_3$ है,ऐसे मैट्रिसेस की कुल संख्या क्या है?

मान लीजिए $A, B, C$ $3 \times 3$ व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं और $I$ तीन कोटि का तत्समक आव्यूह है। यदि $A B A = B A^2 B$ और $A^3 = I$ है, तो $A B^4 - B^4 A = $

$3 \times 3$ के कितने व्युत्क्रमणीय (non-singular) आव्यूह हैं,जिनमें चार प्रविष्टियाँ $1$ हैं और बाकी सभी प्रविष्टियाँ $0$ हैं?