यदि f(x) = 4x^3 - x^2 - 2x + 1 और g(x) = begi | vedclass

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Question

(D) दिया गया है $f(x) = 4x^3 - x^2 - 2x + 1$. सबसे पहले,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = 12x^2 - 2x - 2 = 2(6x^2 - x - 1) = 2(3x + 1)(2x - 1)$. $x \i

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$\frac{5}{2}$

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(D) दिया गया है $f(x) = 4x^3 - x^2 - 2x + 1$. सबसे पहले,हम अवकलज ज्ञात करते हैं: $f'(x) = 12x^2 - 2x - 2 = 2(6x^2 - x - 1) = 2(3x + 1)(2x - 1)$. $x \in [0, 1]$ के लिए,$f'(x) = 0$ का मान $x = \frac{1}{2}$ पर प्राप्त होता है। $f(x)$ अंतराल $[0, \frac{1}{2}]$ पर घटता है और $[\frac{1}{2}, 1]$ पर बढ़ता है। जब $0 \le x \le 1$ हो,तो $g(x) = \min \{f(t) : 0 \le t \le x\}$ के लिए: यदि $0 \le x यदि $\frac{1}{2} \le x \le 1$ है,तो $g(x) = f(\frac{1}{2}) = 4(\frac{1}{8}) - \frac{1}{4} - 2(\frac{1}{2}) + 1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - 1 + 1 = \frac{1}{4}$. अब मानों की गणना करते हैं: $g(\frac{1}{4}) = f(\frac{1}{4}) = 4(\frac{1}{64}) - \frac{1}{16} - 2(\frac{1}{4}) + 1 = \frac{1}{16} - \frac{1}{16} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$. $g(\frac{3}{4}) = f(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$ (क्योंकि $\frac{3}{4} \ge \frac{1}{2}$). $g(\frac{5}{4}) = 3 - \frac{5}{4} = \frac{12-5}{4} = \frac{7}{4}$. योग $= g(\frac{1}{4}) + g(\frac{3}{4}) + g(\frac{5}{4}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{7}{4} = \frac{2+1+7}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$.

List-$I$	List-$II$
$A. \frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}\right)\right)$	$(i) \log(x+\sqrt{1+x^2})$
$B. \frac{d}{dx}\left(\frac{3+\|x-1\|}{3x+4}\right)$	$(ii) -\frac{4x}{(1+x^2)^2}$
$C. \sinh^{-1} x$	$(iii) \frac{1}{2}$
$D. \frac{d^2}{dx^2}\left(\cos^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)\right)$	$(iv) \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$
	$(v) \text{not differentiable at } x=1$

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