यदि tan ^{-1}left(frac{1}{3}right) + tan ^{-1 | vedclass

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Question

(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_r = 	an ^{-1}\left(\frac{1}{1 + r(r+1)}ight)$ है।सर्वसमिका $	an ^{-1}(x) - 	an ^{-1}(y) = 	an ^{-1}\left(\frac{x-y}{

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$12$

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(D) श्रेणी का सामान्य पद $T_r = 	an ^{-1}\left(\frac{1}{1 + r(r+1)}ight)$ है।सर्वसमिका $	an ^{-1}(x) - 	an ^{-1}(y) = 	an ^{-1}\left(\frac{x-y}{1+xy}ight)$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $T_r = 	an ^{-1}(r+1) - 	an ^{-1}(r)$।$r=1$ से $r=5$ तक योग करने पर:$S = \sum_{r=1}^{5} (	an ^{-1}(r+1) - 	an ^{-1}(r)) = (	an ^{-1} 2 - 	an ^{-1} 1) + (	an ^{-1} 3 - 	an ^{-1} 2) + \dots + (	an ^{-1} 6 - 	an ^{-1} 5)$।यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है,इसलिए $S = 	an ^{-1} 6 - 	an ^{-1} 1$।$S = 	an ^{-1}\left(\frac{6-1}{1+6 	imes 1}ight) = 	an ^{-1}\left(\frac{5}{7}ight)$।अतः,$p = 5$ और $q = 7$। चूँकि $p$ और $q$ सापेक्ष अभाज्य हैं,$p + q = 5 + 7 = 12$।

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