यदि एक वृत्त त्रिभुज $ABC$ की भुजा $BC$ को $P$ पर और बढ़ाई गई भुजाओं $AB$ और $AC$ को क्रमशः $Q$ और $R$ पर स्पर्श करता है,तो सिद्ध कीजिए कि $AQ = \frac{1}{2}(BC + CA + AB)$ है।

(N/A) चित्र में दिखाए अनुसार,वृत्त त्रिभुज $ABC$ की भुजाओं को $P$,$Q$ और $R$ बिंदुओं पर स्पर्श करता है।
प्रमेय के अनुसार,किसी बाह्य बिंदु से वृत्त पर खींची गई स्पर्श रेखाओं की लंबाई बराबर होती है।
इसलिए,हमारे पास है:
$BQ = BP$
$CP = CR$
$AQ = AR$
अब,त्रिभुज $ABC$ का परिमाप लें:
$\text{परिमाप} = AB + BC + AC$
$\text{परिमाप} = AB + (BP + CP) + AC$
स्पर्श रेखा प्रमेय से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{परिमाप} = AB + BQ + CR + AC$
$\text{परिमाप} = (AB + BQ) + (AC + CR)$
$\text{परिमाप} = AQ + AR$
चूंकि $AQ = AR$,हम लिख सकते हैं:
$\text{परिमाप} = AQ + AQ = 2AQ$
अतः,$2AQ = AB + BC + AC$
$AQ = \frac{1}{2}(AB + BC + AC)$