यदि $\{-1, 0, 1\}$ समुच्चय के अवयवों से बने सभी $3 \times 3$ शून्येतर आव्यूहों के समुच्चय में से एक आव्यूह यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, तो उस आव्यूह के विषम-सममित (skew-symmetric) होने की प्रायिकता क्या है?

मान लीजिए $A_1, A_2, A_3$ तीन समांतर श्रेणियाँ ($A$.$P$.) हैं जिनका सार्व अंतर $d$ समान है और उनके प्रथम पद क्रमशः $A, A+1, A+2$ हैं। मान लीजिए $a, b, c$ क्रमशः $A_1, A_2, A_3$ के $7^{\text{th}}, 9^{\text{th}}, 17^{\text{th}}$ पद हैं,इस प्रकार कि $\left|\begin{array}{lll} a & 7 & 1 \\ 2b & 17 & 1 \\ c & 17 & 1\end{array}\right|+70=0$ है। यदि $a=29$ है,तो उस समांतर श्रेणी के प्रथम $20$ पदों का योग,जिसका प्रथम पद $c-a-b$ और सार्व अंतर $\frac{d}{12}$ है,$........$ के बराबर है।

मान लीजिए $A$ और $B$ क्रम $3$ के दो व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं,इस प्रकार कि $A + B = I$ और $A^{-1} + B^{-1} = 2I$ है। तो $|adj(4AB)|$ का मान क्या होगा (जहाँ $adj(A)$,आव्यूह $A$ का सहखंडज है):

मान लीजिए $A$ और $B$ $3 \times 3$ वास्तविक आव्यूह हैं,जहाँ $A$ एक सममित आव्यूह है और $B$ एक विषम-सममित आव्यूह है। तो रैखिक समीकरण निकाय $(A^{2}B^{2} - B^{2}A^{2})X = O$,जहाँ $X$ अज्ञात चरों का $3 \times 1$ स्तंभ आव्यूह है और $O$ एक $3 \times 1$ शून्य आव्यूह है,के ....... हैं।

मान लीजिए $A = [a_{ij}]$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,जहाँ
$a_{ij} = 1$,यदि $i = j$
$a_{ij} = -x$,यदि $|i - j| = 1$
$a_{ij} = 2x + 1$,अन्यथा
मान लीजिए एक फलन $f: R \rightarrow R$,$f(x) = \det(A)$ के रूप में परिभाषित है। तो $R$ पर $f$ के अधिकतम और न्यूनतम मानों का योग किसके बराबर है?

माना $A$ एक $3 \times 3$ वास्तविक आव्यूह है,इस प्रकार कि $A^2(A-2I) - 4(A-I) = O$,जहाँ $I$ और $O$ क्रमशः तत्समक और शून्य आव्यूह हैं। यदि $A^5 = \alpha A^2 + \beta A + \gamma I$ है,जहाँ $\alpha, \beta$ और $\gamma$ वास्तविक स्थिरांक हैं,तो $\alpha + \beta + \gamma$ का मान ज्ञात कीजिए: