यदि एक उपग्रह को पृथ्वी के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ में हर $6 \text{ घंटे}$ में परिक्रमा करनी है, तो उपग्रह को पृथ्वी की सतह से कितनी दूरी पर रखा जाना चाहिए ($\text{ km}$ में)? (पृथ्वी की त्रिज्या $R_e = 6400 \text{ km}$)
(मान लीजिए $\frac{GM}{4\pi^2} = 8 \times 10^{12} \text{ m}^3\text{s}^{-2}$, जहाँ $G$ और $M$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक और पृथ्वी का द्रव्यमान हैं, और $10^{1/3} = 2.1$)

एक ग्रह सूर्य के चारों ओर एक दीर्घवृत्ताकार कक्षा में घूमता है, जिसमें सूर्य उसके एक फोकस पर स्थित होता है। ग्रह की गति से जुड़ी वह भौतिक राशि जो समय के साथ स्थिर रहती है, वह है

$T^{2}=k(R_{E}+h)^{3}$ के स्थिरांक $k$ को दिनों और किलोमीटर में व्यक्त करें। दिया गया है $k = 10^{-13} \; s^{2} \; m^{-3}$। चंद्रमा पृथ्वी से $3.84 \times 10^{5} \; km$ की दूरी पर है। इसका परिक्रमण काल दिनों में ज्ञात करें।

एक कण चित्र में दिखाए अनुसार एक दीर्घवृत्ताकार कक्षा में गति कर रहा है। यदि $\vec{p}$, $\vec{L}$ और $\vec{r}$ बिंदु $A$ पर कण के रैखिक संवेग, कोणीय संवेग और स्थिति सदिश (फोकस $O$ से) को दर्शाते हैं, तो $\vec{\alpha} = \vec{p} \times \vec{L}$ की दिशा किस ओर होगी?

नीचे दो कथन दिए गए हैं:
कथन $I$: एक उपग्रह पृथ्वी की सतह के बहुत करीब कक्षा में पृथ्वी के चारों ओर घूम रहा है। उपग्रह के परिक्रमण का समय काल पृथ्वी के घनत्व पर निर्भर करता है।
कथन $II$: उपग्रह के परिक्रमण का समय काल $T = 2\pi\sqrt{\frac{R_e}{g}}$ है (पृथ्वी की सतह के बहुत करीब उपग्रह के लिए), जहाँ $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
उपरोक्त कथनों के आलोक में, नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:

दो उपग्रहों को नगण्य त्रिज्या वाले एक ग्रह से $R$ दूरी पर प्रक्षेपित किया जाता है। दोनों उपग्रहों को स्पर्शरेखीय दिशा में प्रक्षेपित किया जाता है। पहला उपग्रह $v_0$ गति से सही ढंग से प्रक्षेपित होता है और एक वृत्ताकार कक्षा में प्रवेश करता है। हालाँकि,दूसरा उपग्रह $\frac{1}{2}v_0$ गति से प्रक्षेपित किया जाता है। अपनी कक्षा के दौरान दूसरे उपग्रह और ग्रह के बीच की न्यूनतम दूरी क्या है?