यदि पूर्णांकों $m$ और $n$ को $1$ और $100$ के बीच यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,तो $7^m + 7^n$ के रूप की संख्या के $5$ से विभाज्य होने की प्रायिकता क्या है?

एक टोकरी में $5$ सेब और $7$ संतरे हैं और दूसरी टोकरी में $4$ सेब और $8$ संतरे हैं। प्रत्येक टोकरी से एक फल निकाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि दोनों फल सेब हैं या दोनों संतरे हैं।

यदि $A$ और $B$ एक यादृच्छिक प्रयोग की स्वतंत्र घटनाएँ हैं,जैसे कि $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$ और $P(\bar{A} \cap \bar{B}) = \frac{1}{3}$,तो $P(A)$ का मान ज्ञात कीजिए। (यहाँ,$\bar{E}$ घटना $E$ की पूरक घटना है)

जब तीन पासे एक साथ फेंके जाते हैं,तो परिणामों का गुणनफल $4$ से विभाज्य होने की प्रायिकता क्या है?

दो व्यक्ति $A$ और $B$ बारी-बारी से एक निष्पक्ष पासा (जिसके फलकों पर $1$ से $6$ तक अंक अंकित हैं) फेंकते हैं,जिसकी शुरुआत $A$ करता है। जो व्यक्ति प्रतिद्वंद्वी द्वारा फेंके गए पिछले परिणाम से भिन्न परिणाम प्राप्त करता है,वह जीत जाता है। $B$ के जीतने की प्रायिकता क्या है?

एक जहाज में तीन इंजन $E_1, E_2$ और $E_3$ लगे हैं। इंजन एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से क्रमशः $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}$ और $\frac{1}{4}$ की प्रायिकता के साथ कार्य करते हैं। जहाज के चालू रहने के लिए,इसके कम से कम दो इंजनों का कार्य करना आवश्यक है। मान लीजिए $X$ उस घटना को दर्शाता है कि जहाज चालू है और $X_1, X_2$ और $X_3$ क्रमशः उन घटनाओं को दर्शाते हैं कि इंजन $E_1, E_2$ और $E_3$ कार्य कर रहे हैं। निम्नलिखित में से कौन सा (से) सत्य है (हैं)?
$(A) P(X_1^c \mid X) = \frac{3}{16}$
$(B) P(\text{ठीक दो इंजन कार्य कर रहे हैं} \mid X) = \frac{7}{8}$
$(C) P(X \mid X_2) = \frac{5}{16}$
$(D) P(X \mid X_1) = \frac{7}{16}$