જો એક કણનો સ્થાન સદિશ $\vec{r} = -\cos t \hat{i} + \sin t \hat{j} - 18t \hat{k}$ હોય,તો તેના પ્રવેગનું મૂલ્ય કેટલું થાય?

એક કણ સમાન વર્તુળાકાર ગતિમાં છે. કણના એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણના સંદર્ભમાં, નીચેનામાંથી કયું વિધાન ખોટું છે?

નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં રહેલા કણનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $18 \,m/s^2$ છે. જો વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $50 \,cm$ હોય, તો $\frac{\pi}{18} \,s$ ના સમયમાં કણના વેગમાં થતો ફેરફાર કેટલો હશે ($\,m/s$ માં)?

સમતલમાં દ્વિ-પરિમાણીય ગતિનો અભ્યાસ કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં સ્થાન,વેગ અને પ્રવેગને સદિશ $\vec{A} = A_{x} \hat{i} + A_{y} \hat{j}$ તરીકે દર્શાવીને કરી શકાય છે,જ્યાં $\hat{i}$ અને $\hat{j}$ એ અનુક્રમે $x$ અને $y$ દિશામાં એકમ સદિશ છે અને $A_{x}$ અને $A_{y}$ એ $\vec{A}$ ના અનુરૂપ ઘટકો છે. ગતિનો અભ્યાસ વર્તુળાકાર ધ્રુવીય યામ પદ્ધતિમાં સદિશોને $\vec{A} = A_{r} \hat{r} + A_{\theta} \hat{\theta}$ તરીકે દર્શાવીને પણ કરી શકાય છે,જ્યાં $\hat{r} = \cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}$ અને $\hat{\theta} = -\sin \theta \hat{i} + \cos \theta \hat{j}$ એ $r$ અને $\theta$ વધતી દિશામાં એકમ સદિશો છે.
$(a)$ $\hat{i}$ અને $\hat{j}$ ને $\hat{r}$ અને $\hat{\theta}$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવો.
$(b)$ સાબિત કરો કે $\hat{r}$ અને $\hat{\theta}$ બંને એકમ સદિશ છે અને એકબીજાને લંબ છે.
$(c)$ સાબિત કરો કે $\frac{d}{dt}(\hat{r}) = \omega \hat{\theta}$,જ્યાં $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ અને $\frac{d}{dt}(\hat{\theta}) = -\omega \hat{r}$.
$(d)$ $\vec{r} = a\theta \hat{r}$ દ્વારા આપવામાં આવતી સર્પાકાર ગતિ કરતા કણ માટે,જ્યાં $a = 1$ (એકમ),$a$ નું પારિમાણિક સૂત્ર શોધો.
$(e)$ $(d)$ માં વર્ણવેલ સર્પાકાર ગતિ કરતા કણ માટે ધ્રુવીય સદિશ સ્વરૂપમાં વેગ અને પ્રવેગ શોધો.

એક કણ $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર $V$ જેટલી અચળ ઝડપથી ગતિ કરે છે. અડધું વર્તુળ પૂર્ણ કર્યા પછી,કણનો સરેરાશ પ્રવેગ કેટલો હશે?

એક દડાને એક બિંદુથી $V_0$ ઝડપે સમક્ષિતિજ સાથે અમુક ખૂણે $\theta$ ફેંકવામાં આવે છે. તે જ બિંદુથી અને તે જ ક્ષણે,એક વ્યક્તિ દડાને પકડવા માટે $0.5 V_0$ ની અચળ ઝડપે દોડવાનું શરૂ કરે છે. જો વ્યક્તિ અમુક સમય પછી દડાને પકડી લે,તો દડાનો પ્રક્ષિપ્ત કોણ કેટલો હશે ($^{\circ}$ માં)?