જો વર્તુળની બે જીવાઓ $AB$ અને $CD$ કાટખૂણે છેદે (આકૃતિ જુઓ),તો સાબિત કરો કે $\text{ચાપ } CXA + \text{ચાપ } DZB = \text{ચાપ } AYD + \text{ચાપ } BWC = \text{અર્ધવર્તુળ}$.

(A) સાબિત કરવાનું છે: $\text{ચાપ } CXA + \text{ચાપ } DZB = \text{ચાપ } AYD + \text{ચાપ } BWC = \text{અર્ધવર્તુળ}$.
રચના: $AC, AD, BD$ અને $BC$ ને જોડો.
સાબિતી: ધારો કે જીવાઓ $AB$ અને $CD$ બિંદુ $O$ પર કાટખૂણે છેદે છે. તેથી,$\angle AOC = \angle COB = \angle BOD = \angle DOA = 90^{\circ}$.
વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ ચાપ દ્વારા આંતરાયેલો ખૂણો,તે ચાપ દ્વારા વર્તુળના બાકીના ભાગ પરના કોઈપણ બિંદુ આગળ આંતરાયેલા ખૂણા કરતાં બમણો હોય છે. ચાપના માપને તેમના અનુરૂપ કેન્દ્રના ખૂણાઓ દ્વારા દર્શાવીએ.
$\triangle AOC$ માં,$\angle OAC + \angle OCA = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$.
વર્તુળના પરિઘ પર ચાપ દ્વારા આંતરાયેલો ખૂણો કેન્દ્રના ખૂણા કરતાં અડધો હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$\text{ચાપ } CXA = 2 \angle CBA$ અને $\text{ચાપ } DZB = 2 \angle BCD$.
$\triangle OBC$ માં,$\angle OBC + \angle OCB = 90^{\circ}$.
તેથી,$\frac{1}{2} (\text{ચાપ } CXA) + \frac{1}{2} (\text{ચાપ } DZB) = \angle CBA + \angle BCD = 90^{\circ}$.
આમ,$\text{ચાપ } CXA + \text{ચાપ } DZB = 180^{\circ}$,જે અર્ધવર્તુળ છે.
તે જ રીતે,બીજી જોડી માટે,$\text{ચાપ } AYD + \text{ચાપ } BWC = 180^{\circ}$,જે પણ અર્ધવર્તુળ છે.
તેથી,$\text{ચાપ } CXA + \text{ચાપ } DZB = \text{ચાપ } AYD + \text{ચાપ } BWC = \text{અર્ધવર્તુળ}$.