$\Delta GBS$ માં,$m\angle B = 90^{\circ}$ અને $\overline{BM}$ એ કર્ણ $\overline{GS}$ પરનો વેધ છે. સાબિત કરો કે $\frac{GB^{2}}{BS^{2}} = \frac{GM}{SM}$.

(A) $\Delta GBS$ માં,$\angle B = 90^{\circ}$ અને $BM \perp GS$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણમાં કર્ણ પર વેધ દોરવામાં આવે ત્યારે બનતા ત્રિકોણો મૂળ ત્રિકોણને સમરૂપ હોય છે.
તેથી,$\Delta GMB \sim \Delta GBS$ અને $\Delta BMS \sim \Delta GBS$ થાય.
$\Delta GMB \sim \Delta GBS$ પરથી,$\frac{GB}{GS} = \frac{GM}{GB}$,એટલે કે $GB^{2} = GM \cdot GS$ (સમીકરણ $1$).
$\Delta BMS \sim \Delta GBS$ પરથી,$\frac{BS}{GS} = \frac{SM}{BS}$,એટલે કે $BS^{2} = SM \cdot GS$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ ને સમીકરણ $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{GB^{2}}{BS^{2}} = \frac{GM \cdot GS}{SM \cdot GS} = \frac{GM}{SM}$.
આમ,સાબિત થાય છે.