एक भर्ती परीक्षा में बहुविकल्पीय प्रश्न हैं, जिसमें प्रत्येक प्रश्न के लिए चार विकल्प हैं, जिनमें से केवल एक सही है। एक बुद्धिमान छात्र $90 \%$ सही उत्तर जानता है जबकि एक कमजोर छात्र केवल $20 \%$ सही उत्तर जानता है। यदि एक कमजोर छात्र सही उत्तर प्राप्त करता है, तो इस बात की क्या संभावना है कि उसने अनुमान लगाया था?

बैग $A$ में $2$ सफेद,$1$ काली और $3$ लाल गेंदें हैं और बैग $B$ में $3$ काली,$2$ लाल और $n$ सफेद गेंदें हैं। एक बैग को यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और उसमें से $2$ गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं,जो $1$ लाल और $1$ काली पाई जाती हैं। यदि दोनों गेंदों के बैग $A$ से आने की प्रायिकता $\frac{6}{11}$ है,तो $n$ का मान क्या है?

थैला $A$ में $3$ सफेद और $5$ काली गेंदें हैं, जबकि थैला $B$ में $4$ सफेद और $3$ काली गेंदें हैं। थैला $A$ से यादृच्छिक रूप से एक गेंद निकाली जाती है और थैला $B$ में डाल दी जाती है। यदि अब थैला $B$ से यादृच्छिक रूप से एक गेंद निकाली जाती है, तो इस गेंद के सफेद होने की प्रायिकता क्या है?

एक स्कूल में $3$ सेक्शन $A, B$ और $C$ हैं। सेक्शन $A$ में $20$ लड़कियाँ और $30$ लड़के हैं,सेक्शन $B$ में $40$ लड़कियाँ और $20$ लड़के हैं और सेक्शन $C$ में $10$ लड़कियाँ और $30$ लड़के हैं। सेक्शन $A, B$ और $C$ को चुनने की प्रायिकताएँ क्रमशः $0.2, 0.3$ और $0.5$ हैं। यदि स्कूल से यादृच्छिक रूप से चुना गया एक छात्र एक लड़की है,तो उसके सेक्शन $A$ से होने की प्रायिकता क्या है?

तीन थैले $B_1, B_2$ और $B_3$ हैं। थैले $B_1$ में $5$ लाल और $5$ हरी गेंदें हैं,$B_2$ में $3$ लाल और $5$ हरी गेंदें हैं,और $B_3$ में $5$ लाल और $3$ हरी गेंदें हैं। थैलों $B_1, B_2$ और $B_3$ के चुने जाने की प्रायिकताएँ क्रमशः $\frac{3}{10}, \frac{3}{10}$ और $\frac{4}{10}$ हैं। एक थैला यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और उस थैले से एक गेंद यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ प्रायिकता कि चुना गया थैला $B_3$ है और चुनी गई गेंद हरी है,$\frac{3}{20}$ के बराबर है
$(2)$ प्रायिकता कि चुनी गई गेंद हरी है,$\frac{39}{80}$ के बराबर है
$(3)$ प्रायिकता कि चुनी गई गेंद हरी है,यह देखते हुए कि चुना गया थैला $B_3$ है,$\frac{3}{8}$ के बराबर है
$(4)$ प्रायिकता कि चुना गया थैला $B_3$ है,यह देखते हुए कि चुनी गई गेंद हरी है,$\frac{4}{13}$ के बराबर है

एक बहुविकल्पीय परीक्षा में प्रश्न का उत्तर देते समय,एक छात्र या तो उत्तर जानता है या अनुमान लगाता है। मान लीजिए कि उसके उत्तर जानने की प्रायिकता $\frac{3}{4}$ है और उसके अनुमान लगाने की प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है। यह मानते हुए कि जो छात्र अनुमान लगाता है,उसके सही होने की प्रायिकता $\frac{1}{4}$ है। यदि छात्र ने उत्तर सही दिया है,तो इस बात की क्या प्रायिकता है कि वह उत्तर जानता था?