त्रिभुज ABC में,left(tan frac{A}{2} tan frac{ | vedclass

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Question

(A) हम जानते हैं कि $	riangle ABC$ के लिए,$	an \left(\frac{A}{2}ight) 	an \left(\frac{B}{2}ight) + 	an \left(\frac{B}{2}ight) 	an \left(\fr

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$\frac{1}{27}$

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(A) हम जानते हैं कि $	riangle ABC$ के लिए,$	an \left(\frac{A}{2}ight) 	an \left(\frac{B}{2}ight) + 	an \left(\frac{B}{2}ight) 	an \left(\frac{C}{2}ight) + 	an \left(\frac{C}{2}ight) 	an \left(\frac{A}{2}ight) = 1$ होता है। त्रिभुज के लिए,$	an \left(\frac{A}{2}ight), 	an \left(\frac{B}{2}ight), 	an \left(\frac{C}{2}ight) > 0$ है। $AM \geq GM$ असमिका का उपयोग करने पर: $\frac{	an \left(\frac{A}{2}ight) 	an \left(\frac{B}{2}ight) + 	an \left(\frac{B}{2}ight) 	an \left(\frac{C}{2}ight) + 	an \left(\frac{C}{2}ight) 	an \left(\frac{A}{2}ight)}{3} \geq \left[	an^2 \left(\frac{A}{2}ight) 	an^2 \left(\frac{B}{2}ight) 	an^2 \left(\frac{C}{2}ight)ight]^{\frac{1}{3}}$. अतः,$\frac{1}{3} \geq \left[	an \left(\frac{A}{2}ight) 	an \left(\frac{B}{2}ight) 	an \left(\frac{C}{2}ight)ight]^{\frac{2}{3}}$. दोनों पक्षों का घन करने पर,$\left(	an \frac{A}{2} 	an \frac{B}{2} 	an \frac{C}{2}ight)^2 \leq \frac{1}{27}$ प्राप्त होता है।

List-$I$	List-$II$
$(A) \ r_1 r_2 \sqrt{\frac{4R-r_1-r_2}{r_1+r_2}}$	$1. \ b$
$(B) \ \frac{r_2(r_3+r_1)}{\sqrt{r_1r_2+r_2r_3+r_3r_1}}$	$2. \ a^2, b^2, c^2 \text{ समांतर श्रेणी } (AP) \text{ में हैं}$
$(C) \ \frac{a}{c} = \frac{\sin(A-B)}{\sin(B-C)}$	$3. \ \Delta$
$(D) \ bc \cos^2 \frac{A}{2}$	$4. \ R r_1 r_2 r_3$
	$5. \ s(s-a)$

त्रिभुज $ABC$ में,$\left(\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}\right)^2 \leq$

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एक $\Delta ABC$ में,$a = a_1 = 2$,$b = a_2$,$c = a_3$ इस प्रकार है कि $a_{p+1} = \frac{5^p}{3^{2-p}} a_p \left( 2^{2-p} - \frac{4p-2}{5^p} a_p \right)$ जहाँ $p = 1, 2$ है,तो:

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