Class 9MathematicsAreas of Parallelograms and TrianglesTextbook - Areas of Parallelograms and Triangles
Difficultआकृति में,$P$ एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ के अभ्यंतर में स्थित कोई बिंदु है। दर्शाइए कि:
$(i)$ $\operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$
$(ii)$ $\operatorname{ar}(APD) + \operatorname{ar}(PBC) = \operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD)$
[संकेत: $P$ से होकर $AB$ के समांतर एक रेखा खींचिए।]
$(i)$ $\operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$
$(ii)$ $\operatorname{ar}(APD) + \operatorname{ar}(PBC) = \operatorname{ar}(APB) + \operatorname{ar}(PCD)$
[संकेत: $P$ से होकर $AB$ के समांतर एक रेखा खींचिए।]
(N/A) $(i)$ हमारे पास एक समांतर चतुर्भुज $ABCD$ है,अर्थात $AB \parallel CD$ और $BC \parallel AD$ है।
मान लीजिए $P$ से होकर जाने वाली $AB$ के समांतर एक रेखा $EF$ खींचते हैं,जहाँ $E$,$AD$ पर और $F$,$BC$ पर स्थित है।
चूँकि $AB \parallel EF$,$\Delta APB$ और समांतर चतुर्भुज $AEFB$ एक ही आधार $AB$ पर और समांतर रेखाओं $AB$ और $EF$ के बीच स्थित हैं।
अतः,$\operatorname{ar}(\Delta APB) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(AEFB)$ ...... $(1)$
साथ ही,$\Delta PCD$ और समांतर चतुर्भुज $CDEF$ एक ही आधार $CD$ पर और समांतर रेखाओं $CD$ और $EF$ के बीच स्थित हैं।
अतः,$\operatorname{ar}(\Delta PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(CDEF)$ ...... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$\operatorname{ar}(\Delta APB) + \operatorname{ar}(\Delta PCD) = \frac{1}{2} [\operatorname{ar}(AEFB) + \operatorname{ar}(CDEF)]$
$\operatorname{ar}(\Delta APB) + \operatorname{ar}(\Delta PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$
$(ii)$ मान लीजिए $P$ से होकर जाने वाली $AD$ के समांतर एक रेखा $GH$ खींचते हैं,जहाँ $G$,$CD$ पर और $H$,$AB$ पर स्थित है।
$\Delta APD$ और समांतर चतुर्भुज $ADGH$ एक ही आधार $AD$ पर और समांतर रेखाओं $AD$ और $GH$ के बीच स्थित हैं।
अतः,$\operatorname{ar}(\Delta APD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ADGH)$ ...... $(3)$
इसी प्रकार,$\Delta PBC$ और समांतर चतुर्भुज $BCGH$ एक ही आधार $BC$ पर और समांतर रेखाओं $BC$ और $GH$ के बीच स्थित हैं।
अतः,$\operatorname{ar}(\Delta PBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BCGH)$ ...... $(4)$
$(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$\operatorname{ar}(\Delta APD) + \operatorname{ar}(\Delta PBC) = \frac{1}{2} [\operatorname{ar}(ADGH) + \operatorname{ar}(BCGH)]$
$\operatorname{ar}(\Delta APD) + \operatorname{ar}(\Delta PBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$ ...... $(5)$
$(i)$ से,हम जानते हैं कि $\operatorname{ar}(\Delta APB) + \operatorname{ar}(\Delta PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$ ...... $(6)$
$(5)$ और $(6)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\operatorname{ar}(\Delta APD) + \operatorname{ar}(\Delta PBC) = \operatorname{ar}(\Delta APB) + \operatorname{ar}(\Delta PCD)$
मान लीजिए $P$ से होकर जाने वाली $AB$ के समांतर एक रेखा $EF$ खींचते हैं,जहाँ $E$,$AD$ पर और $F$,$BC$ पर स्थित है।
चूँकि $AB \parallel EF$,$\Delta APB$ और समांतर चतुर्भुज $AEFB$ एक ही आधार $AB$ पर और समांतर रेखाओं $AB$ और $EF$ के बीच स्थित हैं।
अतः,$\operatorname{ar}(\Delta APB) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(AEFB)$ ...... $(1)$
साथ ही,$\Delta PCD$ और समांतर चतुर्भुज $CDEF$ एक ही आधार $CD$ पर और समांतर रेखाओं $CD$ और $EF$ के बीच स्थित हैं।
अतः,$\operatorname{ar}(\Delta PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(CDEF)$ ...... $(2)$
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर:
$\operatorname{ar}(\Delta APB) + \operatorname{ar}(\Delta PCD) = \frac{1}{2} [\operatorname{ar}(AEFB) + \operatorname{ar}(CDEF)]$
$\operatorname{ar}(\Delta APB) + \operatorname{ar}(\Delta PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$
$(ii)$ मान लीजिए $P$ से होकर जाने वाली $AD$ के समांतर एक रेखा $GH$ खींचते हैं,जहाँ $G$,$CD$ पर और $H$,$AB$ पर स्थित है।
$\Delta APD$ और समांतर चतुर्भुज $ADGH$ एक ही आधार $AD$ पर और समांतर रेखाओं $AD$ और $GH$ के बीच स्थित हैं।
अतः,$\operatorname{ar}(\Delta APD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ADGH)$ ...... $(3)$
इसी प्रकार,$\Delta PBC$ और समांतर चतुर्भुज $BCGH$ एक ही आधार $BC$ पर और समांतर रेखाओं $BC$ और $GH$ के बीच स्थित हैं।
अतः,$\operatorname{ar}(\Delta PBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BCGH)$ ...... $(4)$
$(3)$ और $(4)$ को जोड़ने पर:
$\operatorname{ar}(\Delta APD) + \operatorname{ar}(\Delta PBC) = \frac{1}{2} [\operatorname{ar}(ADGH) + \operatorname{ar}(BCGH)]$
$\operatorname{ar}(\Delta APD) + \operatorname{ar}(\Delta PBC) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$ ...... $(5)$
$(i)$ से,हम जानते हैं कि $\operatorname{ar}(\Delta APB) + \operatorname{ar}(\Delta PCD) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(ABCD)$ ...... $(6)$
$(5)$ और $(6)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\operatorname{ar}(\Delta APD) + \operatorname{ar}(\Delta PBC) = \operatorname{ar}(\Delta APB) + \operatorname{ar}(\Delta PCD)$
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$(i)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{4} \operatorname{ar}(ABC)$
$(ii)$ $\operatorname{ar}(BDE) = \frac{1}{2} \operatorname{ar}(BAE)$
$(iii)$ $\operatorname{ar}(ABC) = 2 \operatorname{ar}(BEC)$
$(iv)$ $\operatorname{ar}(BFE) = \operatorname{ar}(AFD)$
$(v)$ $\operatorname{ar}(BFE) = 2 \operatorname{ar}(FED)$
$(vi)$ $\operatorname{ar}(FED) = \frac{1}{8} \operatorname{ar}(AFC)$
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