'$CYCLE$' शब्द के अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?

$r$ का वह मान जिसके लिए $^{15}C_{r + 3} = {}^{15}C_{2r - 6}$ है,है:

$223355888$ संख्या के अंकों को पुनर्व्यवस्थित करके कितनी अलग-अलग नौ-अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं,ताकि विषम अंक सम स्थानों पर हों?

एक निश्चित परीक्षा में $n$ प्रश्न हैं। परीक्षा में $2^{n-i}$ छात्रों ने कम से कम $i$ प्रश्नों के गलत उत्तर दिए,जहाँ $i = 1, 2, \dots, n$ है। यदि दिए गए गलत उत्तरों की कुल संख्या $2047$ है,तो $n$ का मान क्या है?

$MEDITERRANEAN$ शब्द के अक्षरों का उपयोग करके कितने अलग-अलग चार अक्षरों वाले शब्द बनाए जा सकते हैं (शब्दों का अर्थपूर्ण होना आवश्यक नहीं है) ताकि पहला अक्षर $E$ और अंतिम अक्षर $R$ हो?

$ATTEND$ शब्द के अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है?