$5$ लड़के और $5$ लड़कियाँ एक पंक्ति में कितने तरीकों से खड़े हो सकते हैं ताकि कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न हों?

यदि $^{56}P_{r+6} : ^{54}P_{r+3} = 30800 : 1$ है,तो $r = $

मान लीजिए कि $T_n$,$n$-भुजा वाले एक नियमित बहुभुज के शीर्षों को जोड़कर बनने वाले सभी संभावित त्रिभुजों की संख्या है। यदि $T_{n+1} - T_n = 10$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए:

$13$ क्रिकेट खिलाड़ियों में से $4$ गेंदबाज हैं। $11$ खिलाड़ियों की क्रिकेट टीम कितने तरीकों से बनाई जा सकती है जिसमें कम से कम $2$ गेंदबाज शामिल हों?

$4$ पुस्तकें,जिनमें रसायन विज्ञान,भौतिकी,जीव विज्ञान और गणित की $1-1$ पुस्तक है,को एक शेल्फ पर व्यवस्थित किया जाना है। इसे कितने तरीकों से किया जा सकता है?

$\sum_{r=1}^{5} C(5, r)$ का मान ज्ञात कीजिए।