मान लीजिए y = y(x) अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 	an x$ और $Q = 2x + x^2 	an x$ है।समाकलन गुणक ($I$.$F$

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$y'\left( \frac{\pi}{4} \right) - y'\left( -\frac{\pi}{4} \right) = \pi - \sqrt{2}$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 	an x$ और $Q = 2x + x^2 	an x$ है।समाकलन गुणक ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int 	an x dx} = e^{\ln |\sec x|} = \sec x$ है।दोनों पक्षों को $I$.$F$. से गुणा करने पर,हमें $y \sec x = \int (2x + x^2 	an x) \sec x dx$ प्राप्त होता है।$y \sec x = \int 2x \sec x dx + \int x^2 \sec x 	an x dx$.ध्यान दें कि $\frac{d}{dx}(x^2 \sec x) = 2x \sec x + x^2 \sec x 	an x$ होता है।अतः,$y \sec x = x^2 \sec x + C$.$\sec x$ से भाग देने पर,$y = x^2 + C \cos x$ प्राप्त होता है।चूँकि $y(0) = 1$ दिया गया है,इसलिए $1 = 0^2 + C \cos(0) \Rightarrow C = 1$.अतः,$y = x^2 + \cos x$.अब,$y' = 2x - \sin x$.$y'\left( \frac{\pi}{4} ight) = 2\left( \frac{\pi}{4} ight) - \sin\left( \frac{\pi}{4} ight) = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}$.$y'\left( -\frac{\pi}{4} ight) = 2\left( -\frac{\pi}{4} ight) - \sin\left( -\frac{\pi}{4} ight) = -\frac{\pi}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}}$.$y'\left( \frac{\pi}{4} ight) - y'\left( -\frac{\pi}{4} ight) = \left( \frac{\pi}{2} - \frac{1}{\sqrt{2}} ight) - \left( -\frac{\pi}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} ight) = \pi - \frac{2}{\sqrt{2}} = \pi - \sqrt{2}$.इस प्रकार,विकल्प $B$ सही है।

मान लीजिए $y = y(x)$ अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + y \tan x = 2x + x^2 \tan x$,$x \in \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$ का हल है,जहाँ $y(0) = 1$ है। तो

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