मान लीजिए E^{C} एक घटना E के पूरक को दर्शाता | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $E_{1}, E_{2}, E_{3}$ युग्मवार स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए $P(E_{1} \cap E_{2}) = P(E_{1})P(E_{2})$,$P(E_{2} \cap E_{3}) = P(E_{2})P(

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$P(E_{3}^{C}) - P(E_{2})$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $E_{1}, E_{2}, E_{3}$ युग्मवार स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए $P(E_{1} \cap E_{2}) = P(E_{1})P(E_{2})$,$P(E_{2} \cap E_{3}) = P(E_{2})P(E_{3})$,और $P(E_{3} \cap E_{1}) = P(E_{3})P(E_{1})$.साथ ही,$P(E_{1} \cap E_{2} \cap E_{3}) = 0$.हमें $P(E_{2}^{C} \cap E_{3}^{C} | E_{1})$ ज्ञात करना है।सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(E_{2}^{C} \cap E_{3}^{C} | E_{1}) = \frac{P(E_{1} \cap E_{2}^{C} \cap E_{3}^{C})}{P(E_{1})}$.डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$E_{2}^{C} \cap E_{3}^{C} = (E_{2} \cup E_{3})^{C}$.अतः,$E_{1} \cap (E_{2} \cup E_{3})^{C} = E_{1} \setminus (E_{1} \cap (E_{2} \cup E_{3})) = E_{1} \setminus ((E_{1} \cap E_{2}) \cup (E_{1} \cap E_{3}))$.प्रायिकता के लिए समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$P(E_{1} \cap (E_{2} \cup E_{3})) = P(E_{1} \cap E_{2}) + P(E_{1} \cap E_{3}) - P(E_{1} \cap E_{2} \cap E_{3})$.दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$P(E_{1} \cap (E_{2} \cup E_{3})) = P(E_{1})P(E_{2}) + P(E_{1})P(E_{3}) - 0 = P(E_{1})(P(E_{2}) + P(E_{3}))$.इसलिए,$P(E_{1} \cap E_{2}^{C} \cap E_{3}^{C}) = P(E_{1}) - P(E_{1} \cap (E_{2} \cup E_{3})) = P(E_{1}) - P(E_{1})(P(E_{2}) + P(E_{3})) = P(E_{1})(1 - P(E_{2}) - P(E_{3}))$.अंत में,$P(E_{2}^{C} \cap E_{3}^{C} | E_{1}) = \frac{P(E_{1})(1 - P(E_{2}) - P(E_{3}))}{P(E_{1})} = 1 - P(E_{2}) - P(E_{3}) = (1 - P(E_{3})) - P(E_{2}) = P(E_{3}^{C}) - P(E_{2})$.

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