मान लीजिए P(x) घात 3 का एक वास्तविक बहुपद है | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $P'(x) = k(x - 1)(x + 1) = k(x^2 - 1)$ किसी स्थिरांक $k$ के लिए।$P'(x)$ का समाकलन करने पर,हमें $P(x) = k(\frac{x^3}{3} - x) + C$ प्राप्त

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$8$

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(B) मान लीजिए $P'(x) = k(x - 1)(x + 1) = k(x^2 - 1)$ किसी स्थिरांक $k$ के लिए।$P'(x)$ का समाकलन करने पर,हमें $P(x) = k(\frac{x^3}{3} - x) + C$ प्राप्त होता है।दिया गया है कि $P(-3) = 0$,इसलिए $k(\frac{-27}{3} - (-3)) + C = 0$,जो सरल होकर $k(-9 + 3) + C = 0$ हो जाता है,अर्थात $-6k + C = 0$,या $C = 6k$।दिया गया है कि $\int_{-1}^{1} P(x) dx = 18$,हम $\int_{-1}^{1} (k(\frac{x^3}{3} - x) + C) dx = 18$ की गणना करते हैं।चूंकि $k(\frac{x^3}{3} - x)$ एक विषम फलन है,इसलिए $[-1, 1]$ पर इसका समाकलन $0$ होता है। अतः,$\int_{-1}^{1} C dx = 18$,जो $2C = 18$ देता है,इसलिए $C = 9$।$C = 6k$ का उपयोग करके,हमें $9 = 6k$ प्राप्त होता है,इसलिए $k = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$।इस प्रकार,$P(x) = \frac{3}{2}(\frac{x^3}{3} - x) + 9 = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x + 9$।$P(x)$ के गुणांकों का योग $P(1) = \frac{1}{2}(1)^3 - \frac{3}{2}(1) + 9 = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + 9 = -1 + 9 = 8$ है।

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