ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx}+fra | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{1}{x^2-1}$ અને $Q(x) = \left(\frac{x-1}{x+1}\ri

Vedclass · Accepted Answer

$19-6 \log_{e} 3$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \frac{1}{x^2-1}$ અને $Q(x) = \left(\frac{x-1}{x+1}\right)^{1/2}$ છે.સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int \frac{1}{x^2-1} dx} = e^{\frac{1}{2} \log \left| \frac{x-1}{x+1} \right|} = \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{1/2}$ છે.સામાન્ય ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ છે.$y \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{1/2} = \int \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{1/2} \cdot \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{1/2} dx = \int \frac{x-1}{x+1} dx$.$y \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^{1/2} = \int \left( 1 - \frac{2}{x+1} \right) dx = x - 2 \log_{e} |x+1| + C$.વક્ર બિંદુ $\left(2, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $x=2$ અને $y=\frac{1}{\sqrt{3}}$ મૂકતા:$\frac{1}{\sqrt{3}} \left( \frac{2-1}{2+1} \right)^{1/2} = 2 - 2 \log_{e} 3 + C \implies \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = 2 - 2 \log_{e} 3 + C \implies \frac{1}{3} = 2 - 2 \log_{e} 3 + C$.$C = \frac{1}{3} - 2 + 2 \log_{e} 3 = 2 \log_{e} 3 - \frac{5}{3}$.હવે,$x=8$ માટે:$y(8) \left( \frac{8-1}{8+1} \right)^{1/2} = 8 - 2 \log_{e} 9 + 2 \log_{e} 3 - \frac{5}{3}$.$y(8) \left( \frac{7}{9} \right)^{1/2} = 8 - 4 \log_{e} 3 + 2 \log_{e} 3 - \frac{5}{3} = \frac{19}{3} - 2 \log_{e} 3$.$y(8) \cdot \frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{19 - 6 \log_{e} 3}{3}$.$\sqrt{7} y(8) = 19 - 6 \log_{e} 3$.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\cos ^{2} x \frac{d y}{d x}+y=\tan x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો,જ્યાં $0 \leq x < \frac{\pi}{2}$.

ધારો કે $y=y(t)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dt}+\alpha y=\gamma e^{-\beta t}$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $\alpha > 0, \beta > 0$ અને $\gamma > 0$ છે. તો $\lim_{t \rightarrow \infty} y(t)$ શું થાય?

$\frac{dy}{dx} + \frac{y}{3} = 1$ નો ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module