मान लीजिए कि S वास्तविक संख्याओं p का समुच्चय | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण $\int_0^x f(t) dt = p f(x)$ है।यदि $p = 0$ है,तो सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $\int_0^x f(t) dt = 0$ होगा। $x$ के सापेक्ष अवकलन क

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पूरा समुच्चय $\mathbb{R}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया समीकरण $\int_0^x f(t) dt = p f(x)$ है।यदि $p = 0$ है,तो सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $\int_0^x f(t) dt = 0$ होगा। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f(x) = 0$ प्राप्त होता है। अतः,$p = 0$ के लिए कोई गैर-शून्य फलन $f$ मौजूद नहीं है।यदि $p 
eq 0$ है,तो कलन के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$f(x) = p f'(x) \implies \frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{p}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\ln|f(x)| = \frac{x}{p} + C$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि किसी स्थिरांक $A$ के लिए $f(x) = A e^{x/p}$ है।इस मान को मूल समाकल समीकरण में $x = 0$ पर रखने पर:$\int_0^0 f(t) dt = p f(0) \implies 0 = p A e^0 \implies p A = 0$.चूंकि $p 
eq 0$,इसलिए $A = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि सभी $x$ के लिए $f(x) = 0$ है।अतः,किसी भी $p \in \mathbb{R}$ के लिए,दिए गए समीकरण को संतुष्ट करने वाला कोई गैर-शून्य निरंतर फलन $f$ मौजूद नहीं है।इसलिए,$S = \mathbb{R}$।

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