माना कि $\lambda \in R$,$\vec{a} = \lambda \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$,और $\vec{b} = \hat{i} - \lambda \hat{j} + 2 \hat{k}$ है। यदि $((\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} \times \vec{b})) \times (\vec{a} - \vec{b}) = 8 \hat{i} - 40 \hat{j} - 24 \hat{k}$ है,तो $|\lambda(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b})|^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $\overrightarrow{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\overrightarrow{b}=\lambda \hat{j}+2 \hat{k}$, जहाँ $\lambda \in \mathbb{Z}$, दो सदिश हैं। मान लीजिए $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{d}$, $yz$-समतल में $2$ परिमाण वाला एक सदिश है। यदि $|\overrightarrow{c}|=\sqrt{53}$ है, तो $(\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{d})^2$ का अधिकतम संभव मान क्या है?

मान लीजिए कि $\hat{a}$ एक इकाई सदिश है जो सदिशों $\overrightarrow{b} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ और $\overrightarrow{c} = 2\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}$ के लंबवत है,और सदिश $\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ के साथ $\cos^{-1}\left(-\frac{1}{3}\right)$ का कोण बनाता है। यदि $\hat{a}$,सदिश $\hat{i} + \alpha\hat{j} + \hat{k}$ के साथ $\frac{\pi}{3}$ का कोण बनाता है,तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{j}-\hat{k}$ है,तो एक सदिश $\vec{c}$ ज्ञात कीजिए ताकि $\vec{a} \times \vec{c}=\vec{b}$ और $\vec{a} \cdot \vec{c}=3$ हो।

बिंदुओं $A(1, -1, 2)$,$B(2, 0, -1)$ और $C(0, 2, 1)$ द्वारा निर्धारित समतल के लंबवत इकाई सदिश हैं:

यदि $a+2b+3c=0$ और $(a \times b)+(b \times c)+(c \times a)=\lambda(b \times c)$ है,तो $\lambda$ का मान किसके बराबर है?