मान लीजिए $\alpha = \sum_{r=0}^{n} (4r^2+2r+1) {}^{n}C_{r}$ और $\beta = \left(\sum_{r=0}^{n} \frac{{}^{n}C_{r}}{r+1}\right) + \frac{1}{n+1}$ है। यदि $140 < \frac{2\alpha}{\beta} < 281$ है,तो $n$ का मान ............... है।

यदि $(1+x)^{p}(1-x)^{q}$ के विस्तार में,जहाँ $p, q \leq 15$,$x$ और $x^{2}$ के गुणांक क्रमशः $-3$ और $-5$ हैं,तो $x^{3}$ का गुणांक $............$ के बराबर है।

यदि ${T_0}, {T_1}, {T_2}, \dots, {T_n}$,${(x + a)^n}$ के विस्तार में पदों को दर्शाते हैं,तो $({T_0} - {T_2} + {T_4} - \dots)^2 + ({T_1} - {T_3} + {T_5} - \dots)^2 = $

एक पूर्णांक $n \geq 2$ के लिए,यदि $(x+y)^{2n-3}$ के द्विपद विस्तार में सभी गुणांकों का समांतर माध्य $16$ है,तो बिंदु $P(2n-1, n^2-4n)$ की रेखा $x+y=8$ से दूरी क्या है?

यदि $(1+x+x^2)^n = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \ldots$ है,तो $c_0 c_1 - c_1 c_2 + c_2 c_3 - \ldots$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $C_{r}$,$(1+x)^{10}$ के विस्तार में $x^{r}$ का द्विपद गुणांक है। यदि $\alpha, \beta \in R$ है और $C_{1}+3 \cdot 2 C_{2}+5 \cdot 3 C_{3}+\ldots$ ($10$ पदों तक) $= \frac{\alpha \times 2^{11}}{2^{\beta}-1} \left( C_{0}+\frac{C_{1}}{2}+\frac{C_{2}}{3}+\ldots \right.$ ($10$ पदों तक) $)$,तो $\alpha+\beta$ का मान ज्ञात कीजिए।