मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार दिया गया है:
$f(x) = \begin{cases} x^5+5x^4+10x^3+10x^2+3x+1, & x < 0 \\ x^2-x+1, & 0 \leq x < 1 \\ \frac{2}{3}x^3-4x^2+7x-\frac{8}{3}, & 1 \leq x < 3 \\ (x-2)\log_e(x-2)-x+\frac{10}{3}, & x \geq 3 \end{cases}$
तो निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
$(1)$ $f^{\prime}$ का $x = 1$ पर स्थानीय अधिकतम है
$(2)$ $f$ आच्छादक (onto) है
$(3)$ $f$,$(-\infty, 0)$ पर वर्धमान है
$(4)$ $f^{\prime}$,$x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है

इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि $\sin (A+B)=\sin A \cos B+\cos A \sin B$ और अवकलन का उपयोग करके,कोसाइन के लिए योग सूत्र प्राप्त करें।

$(i)$ $f(x)$ सतत है और सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।
$(ii)$ $f'(-5) = 0$; $f'(2)$ परिभाषित नहीं है और $f'(4) = 0$ है।
$(iii)$ $(-5, 12)$ एक बिंदु है जो $f(x)$ के ग्राफ पर स्थित है।
$(iv)$ $f''(2)$ अपरिभाषित है,लेकिन $f''(x)$ बाकी हर जगह ऋणात्मक है।
$(v)$ $f'(x)$ के चिह्न नीचे दिए गए हैं:
| $x$ | $(-\infty, -5)$ | $-5$ | $(-5, 2)$ | $2$ | $(2, 4)$ | $4$ | $(4, \infty)$ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | अपरिभाषित | $+$ | $0$ | $-$ |
$y = f(x)$ का संभावित ग्राफ है:

मान लीजिए $f$ और $g$ $R$ पर दो बार अवकलनीय फलन हैं ताकि
$f^{\prime \prime}(x)=g^{\prime \prime}(x)+6 x$
$f^{\prime}(1)=4, g^{\prime}(1)=3$
$f(2)=12, g(2)=4$
तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य नहीं है?

मान लीजिए $a$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है,जैसे कि $a^5-a^3+a=2$ है। तो,

फलन $f(x) = \begin{cases} e^{2x} - 1, & x \le 0 \\ ax + \frac{bx^2}{2} - 1, & x > 0 \end{cases}$ किन मानों के लिए सतत और अवकलनीय है?