मान लीजिए O वृत्त x^2 + y^2 = r^2 का केंद्र ह | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $	riangle OPQ$ के परिवृत्त का केंद्र $C(h, k)$ है।चूँकि $O(0, 0)$ त्रिभुज का एक शीर्ष है,परिवृत्त मूल बिंदु से होकर गुजरता है।जीवा $PQ$

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$2$

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(B) मान लीजिए $	riangle OPQ$ के परिवृत्त का केंद्र $C(h, k)$ है।चूँकि $O(0, 0)$ त्रिभुज का एक शीर्ष है,परिवृत्त मूल बिंदु से होकर गुजरता है।जीवा $PQ$ का समीकरण $2x + 4y = 5$ है।रेखा $OC$,$PQ$ के लंबवत है और $PQ$ का मध्यबिंदु $OC$ पर स्थित है।$PQ$ की ढाल $m = -\frac{1}{2}$ है।अतः $OC$ की ढाल $2$ है।रेखा $OC$ मूल बिंदु से गुजरती है,इसलिए इसका समीकरण $y = 2x$ है।केंद्र $C(h, k)$,$y = 2x$ पर स्थित है,इसलिए $k = 2h$ है।साथ ही,$C(h, k)$ रेखा $x + 2y = 4$ पर स्थित है।$k = 2h$ को $x + 2y = 4$ में रखने पर,$h + 2(2h) = 4 \Rightarrow 5h = 4 \Rightarrow h = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।अतः,$k = 2(\frac{4}{5}) = \frac{8}{5}$,यानी $C = (\frac{4}{5}, \frac{8}{5})$ है।चूँकि $C$,$	riangle OPQ$ का परिकेंद्र है,$CO = CP = CQ = r_{circum}$ है।$CO^2 = (\frac{4}{5})^2 + (\frac{8}{5})^2 = \frac{16+64}{25} = \frac{80}{25} = \frac{16}{5}$ है।$C(\frac{4}{5}, \frac{8}{5})$ से रेखा $2x + 4y - 5 = 0$ की दूरी $d = \frac{|2(\frac{4}{5}) + 4(\frac{8}{5}) - 5|}{\sqrt{2^2 + 4^2}} = \frac{3}{\sqrt{20}}$ है।$	riangle CPQ$ में,$CP^2 = d^2 + PM^2$ है। $PM^2 = r^2 - OM^2$ है।$OM = \frac{|-5|}{\sqrt{20}} = \frac{5}{\sqrt{20}}$ है।$PM^2 = r^2 - \frac{25}{20} = r^2 - \frac{5}{4}$ है।$CP^2 = \frac{9}{20} + r^2 - \frac{5}{4} = r^2 - \frac{16}{20} = r^2 - \frac{4}{5}$ है।$\frac{16}{5} = r^2 - \frac{4}{5} \Rightarrow r^2 = 4 \Rightarrow r = 2$ है।

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