ધારો કે f: left[-frac{pi}{2}, frac{pi}{2}righ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $g(x) = f(x) - 3 \cos 3x$. ત્યારે $\int_0^{\pi/3} g(x) dx = \int_0^{\pi/3} f(x) dx - 3 \int_0^{\pi/3} \cos 3x dx = 0 - 3 \left[ \frac{\sin

Vedclass · Accepted Answer

$(A), (B), (C)$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $g(x) = f(x) - 3 \cos 3x$. ત્યારે $\int_0^{\pi/3} g(x) dx = \int_0^{\pi/3} f(x) dx - 3 \int_0^{\pi/3} \cos 3x dx = 0 - 3 \left[ \frac{\sin 3x}{3} \right]_0^{\pi/3} = 0 - (\sin \pi - \sin 0) = 0$. વિધેય $g(x)$ નું $[0, \pi/3]$ પર સંકલન $0$ હોવાથી,સંકલન માટેના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,$(0, \pi/3)$ માં ઓછામાં ઓછું એક $c$ એવું મળે કે જેથી $g(c) = 0$ થાય. તેથી,$(A)$ $TRUE$ છે.$(B)$ ધારો કે $h(x) = f(x) - 3 \sin 3x + \frac{6}{\pi}$. ત્યારે $\int_0^{\pi/3} h(x) dx = \int_0^{\pi/3} f(x) dx - 3 \int_0^{\pi/3} \sin 3x dx + \int_0^{\pi/3} \frac{6}{\pi} dx = 0 - 3 \left[ -\frac{\cos 3x}{3} \right]_0^{\pi/3} + \frac{6}{\pi} \cdot \frac{\pi}{3} = 0 + (\cos \pi - \cos 0) + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$. વિધેય $h(x)$ નું $[0, \pi/3]$ પર સંકલન $0$ હોવાથી,$(0, \pi/3)$ માં ઓછામાં ઓછું એક $c$ એવું મળે કે જેથી $h(c) = 0$ થાય. તેથી,$(B)$ $TRUE$ છે.$(C)$ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \int_0^x f(t) dt}{1 - e^{x^2}} = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{x^2}{1 - e^{x^2}} \right) \cdot \left( \frac{\int_0^x f(t) dt}{x} \right) = (-1) \cdot f(0) = -1 \cdot 1 = -1$. તેથી,$(C)$ $TRUE$ છે.$(D)$ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x \int_0^x f(t) dt}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right) \cdot \left( \frac{\int_0^x f(t) dt}{x} \right) = 1 \cdot f(0) = 1 \cdot 1 = 1$. તેથી,$(D)$ $FALSE$ છે.

Similar Questions

જો $f(x) = \int_0^x {t(\sin x - \sin t) dt}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

લક્ષ $\lim _{n \rightarrow \infty} \int _{0}^{1} x^{10} \sin (n x) d x$ ની કિંમત શું થાય?

જો $A_n = \int_{0}^{\pi /2} \frac{\sin((2n-1)x)}{\sin x} dx$ અને $B_n = \int_{0}^{\pi /2} \left( \frac{\sin(nx)}{\sin x} \right)^2 dx$ જ્યાં $n \in N$,તો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module