मान लीजिए $\overrightarrow{a}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\times(\hat{i}-2\hat{k})$ और $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}\times\hat{k}$ है। तो $\overrightarrow{c}-2\hat{j}$ का $\overrightarrow{a}$ पर प्रक्षेप ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $O$ मूल बिंदु है,और $\overline{OX}, \overline{OY}, \overline{OZ}$ एक त्रिभुज $PQR$ की भुजाओं $QR, RP, PQ$ की दिशाओं में तीन इकाई सदिश हैं।
$(1)$ $|\overline{OX} \times \overline{OY}|$ ज्ञात कीजिए।
$[A] \sin(P+Q)$
$[B] \sin 2R$
$[C] \sin(P+R)$
$[D] \sin(Q+R)$
$(2)$ यदि त्रिभुज $PQR$ बदलता है,तो $\cos(P+Q) + \cos(Q+R) + \cos(R+P)$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।
$[A] -\frac{5}{3}$
$[B] -\frac{3}{2}$
$[C] \frac{3}{2}$
$[D] \frac{5}{3}$
$(1)$ और $(2)$ के लिए सही विकल्प चुनें।

किसी भी सदिश $x$ के लिए, जहाँ $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ अपने सामान्य अर्थ रखते हैं, $(x \times \hat{i})^{2} + (x \times \hat{j})^{2} + (x \times \hat{k})^{2}$ का मान किसके बराबर है?

बिंदुओं $A(1, -1, 2)$,$B(2, 0, -1)$ और $C(0, 2, 1)$ द्वारा निर्धारित समतल के लंबवत एक इकाई सदिश है:

मान लीजिए कि सदिश $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इस प्रकार दिए गए हैं: $\vec{a} = a_{1} \hat{i}+a_{2} \hat{j}+a_{3} \hat{k}$,$\vec{b} = b_{1} \hat{i}+b_{2} \hat{j}+b_{3} \hat{k}$,और $\vec{c} = c_{1} \hat{i}+c_{2} \hat{j}+c_{3} \hat{k}$। तो सिद्ध कीजिए कि $\vec{a} \times(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a} \times \vec{b}+\vec{a} \times \vec{c}$।

यदि $a = i + j + 2k$ और $b = 3i + j + k$ है,तो $a \times b$ का मान ज्ञात कीजिए।