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Question

(B) दिया गया है $f(x)f(\frac{1}{x}) = f(x) + f(\frac{1}{x})$.मान लीजिए $f(x) = ax^2 + bx + c$ है। चूँकि $f(x)$ घात $2$ का बहुपद है,$a 
eq 0$ है।समीकर

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$6$

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(B) दिया गया है $f(x)f(\frac{1}{x}) = f(x) + f(\frac{1}{x})$.मान लीजिए $f(x) = ax^2 + bx + c$ है। चूँकि $f(x)$ घात $2$ का बहुपद है,$a 
eq 0$ है।समीकरण में $f(x)$ का मान रखने पर: $(ax^2 + bx + c)(a(\frac{1}{x})^2 + b(\frac{1}{x}) + c) = ax^2 + bx + c + a(\frac{1}{x})^2 + b(\frac{1}{x}) + c$.गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $c = 1$ और $a = -1$ प्राप्त होता है (क्योंकि परिसर $(-\infty, 1)$ है)।अतः,$f(x) = 1 - x^2$.दिया गया है $f(K) = -2K$,इसलिए $1 - K^2 = -2K$,जो सरल होकर $K^2 - 2K - 1 = 0$ हो जाता है।मान लीजिए मूल $K_1$ और $K_2$ हैं। वर्गों का योग $K_1^2 + K_2^2 = (K_1 + K_2)^2 - 2K_1K_2$ है।विएटा के सूत्रों का उपयोग करने पर,$K_1 + K_2 = 2$ और $K_1K_2 = -1$.इसलिए,$K_1^2 + K_2^2 = (2)^2 - 2(-1) = 4 + 2 = 6$.

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यदि सभी $x, y \in R$ के लिए $f(x + y) = f(x) + f(y)$ और $f(1) = 1$ है,तो $\lim_{x \to 0} \frac{2^{f(\tan x)} - 2^{f(\sin x)}}{f(\tan x) - f(\sin x)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

वास्तव में ऐसे कितने फलन $f: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$ मौजूद हैं कि सभी $x, y \in \mathbb{Q}$ के लिए $f(x+y) = f(x) + f(y)$ और $f(xy) = f(x)f(y)$ हो?

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