मान लीजिए S = { m in mathbb{Z} : A^{m^2} + A^ | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \ 1 & 0 \end{bmatrix}$।हम $A$ की घात ज्ञात करते हैं:$A^2 = \begin{bmatrix} 3 & -2 \ 2 & -1 \end{bmatrix}

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$2$

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(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \ 1 & 0 \end{bmatrix}$।हम $A$ की घात ज्ञात करते हैं:$A^2 = \begin{bmatrix} 3 & -2 \ 2 & -1 \end{bmatrix}, A^3 = \begin{bmatrix} 4 & -3 \ 3 & -2 \end{bmatrix}$।गणितीय आगमन द्वारा,$A^n = \begin{bmatrix} n+1 & -n \ n & -n+1 \end{bmatrix}$।अतः,$A^m = \begin{bmatrix} m+1 & -m \ m & -m+1 \end{bmatrix}$ और $A^{m^2} = \begin{bmatrix} m^2+1 & -m^2 \ m^2 & -m^2+1 \end{bmatrix}$।साथ ही,$A^{-6} = (A^6)^{-1}$। चूँकि $A^6 = \begin{bmatrix} 7 & -6 \ 6 & -5 \end{bmatrix}$,$\det(A^6) = -35 - (-36) = 1$।$A^{-6} = \frac{1}{1} \begin{bmatrix} -5 & 6 \ -6 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 6 \ -6 & 7 \end{bmatrix}$।तब $3I - A^{-6} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \ 0 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -5 & 6 \ -6 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -6 \ 6 & -4 \end{bmatrix}$।$A^{m^2} + A^m = \begin{bmatrix} 8 & -6 \ 6 & -4 \end{bmatrix}$ की तुलना करने पर:आव्यूहों का योग: $\begin{bmatrix} m^2+m+2 & -(m^2+m) \ m^2+m & -(m^2+m)+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -6 \ 6 & -4 \end{bmatrix}$।अवयवों की तुलना करने पर: $m^2 + m + 2 = 8 \Rightarrow m^2 + m - 6 = 0$।$(m+3)(m-2) = 0$,अतः $m = -3$ या $m = 2$।इस प्रकार,$S = \{-3, 2\}$ और $n(S) = 2$।

मान लीजिए $S = \{ m \in \mathbb{Z} : A^{m^2} + A^m = 3I - A^{-6} \}$,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ है। तो $n(S)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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