मान लीजिए alpha,x^2+x+1=0 का एक हल है,और math | vedclass

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Question

(B) दिया गया है $x^2+x+1=0$. चूंकि $\alpha$ एक मूल है,$\alpha^2+\alpha+1=0$. अतः,$\alpha = \omega$ या $\omega^2$,जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है। हम जा

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(B) दिया गया है $x^2+x+1=0$. चूंकि $\alpha$ एक मूल है,$\alpha^2+\alpha+1=0$. अतः,$\alpha = \omega$ या $\omega^2$,जहाँ $\omega$ इकाई का घनमूल है। हम जानते हैं कि $\omega^3=1$ और $1+\omega+\omega^2=0$.मैट्रिक्स गुणन करने पर: $\begin{bmatrix} 4 & a & b \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 16 & 13 \ -1 & -1 & 2 \ -2 & -14 & -8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4-a-2b & 64-a-14b & 52+2a-8b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.इससे समीकरण मिलते हैं: $a+2b=4$ और $a+14b=64$.समीकरणों को घटाने पर: $12b=60 \Rightarrow b=5$. $b=5$ को $a+2b=4$ में रखने पर $a+10=4 \Rightarrow a=-6$ प्राप्त होता है।अब,$a=-6, b=5$ को $\frac{4}{\alpha^4} + \frac{m}{\alpha^a} + \frac{n}{\alpha^b} = 3$ में रखें।चूंकि $\alpha^3=1$,$\alpha^4=\alpha$,$\alpha^{-6}=1$,और $\alpha^5=\alpha^2$.अतः,$\frac{4}{\alpha} + m + \frac{n}{\alpha^2} = 3$.$\frac{1}{\alpha} = \alpha^2$ और $\frac{1}{\alpha^2} = \alpha$ का उपयोग करने पर,$4\alpha^2 + m + n\alpha = 3$ प्राप्त होता है।$\alpha^2 = -1-\alpha$ होने के कारण,$4(-1-\alpha) + m + n\alpha = 3 \Rightarrow (n-4)\alpha + (m-4) = 3$.इस समीकरण के लिए,$n-4=0 \Rightarrow n=4$ और $m-4=3 \Rightarrow m=7$.अतः,$m+n = 7+4 = 11$.

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