मान लीजिए n ( 1) एक धनात्मक पूर्णांक है,तो स | vedclass

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Question

(C) गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = 1 + n + n^2 + \dots + n^{127} = \frac{n^{128} - 1}{n - 1}$ द्वारा दिया जाता है।हमें दिया गया है कि $(n^m + 1)$,$S$ को

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$64$

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(C) गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = 1 + n + n^2 + \dots + n^{127} = \frac{n^{128} - 1}{n - 1}$ द्वारा दिया जाता है।हमें दिया गया है कि $(n^m + 1)$,$S$ को विभाजित करता है,इसलिए $\frac{n^{128} - 1}{(n - 1)(n^m + 1)}$ एक पूर्णांक होना चाहिए।हम जानते हैं कि $n^{128} - 1 = (n^{64} - 1)(n^{64} + 1)$ होता है।इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $\frac{(n^{64} - 1)(n^{64} + 1)}{(n - 1)(n^m + 1)}$ प्राप्त होता है।यदि $m = 64$ है,तो व्यंजक $\frac{(n^{64} - 1)(n^{64} + 1)}{(n - 1)(n^{64} + 1)} = \frac{n^{64} - 1}{n - 1} = 1 + n + n^2 + \dots + n^{63}$ हो जाता है,जो हमेशा एक पूर्णांक है।अतः,सबसे बड़ा पूर्णांक $m = 64$ है।

मान लीजिए $n (> 1)$ एक धनात्मक पूर्णांक है,तो सबसे बड़ा पूर्णांक $m$ ज्ञात कीजिए ताकि $(n^m + 1)$,$(1 + n + n^2 + \dots + n^{127})$ को विभाजित करे:

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