ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ sin x frac{dy}{d | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sin x \frac{dy}{dx} + y \cos x = 4x$ છે. $\sin x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + y \cot x = \frac{4x}{\sin x}$ મળે છે. આ $\fr

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{8}{9} \pi^2$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\sin x \frac{dy}{dx} + y \cos x = 4x$ છે. $\sin x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} + y \cot x = \frac{4x}{\sin x}$ મળે છે. આ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \cot x$ અને $Q = \frac{4x}{\sin x}$ છે. સંકલ્યકારક અવયવ ($I$.$F$.) $e^{\int P dx} = e^{\int \cot x dx} = e^{\ln|\sin x|} = \sin x$ છે. વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + C$ છે. કિંમતો મૂકતા,$y \sin x = \int \frac{4x}{\sin x} \cdot \sin x dx + C = \int 4x dx + C = 2x^2 + C$. તેથી,$y = \frac{2x^2 + C}{\sin x}$. આપેલ છે કે $y(\frac{\pi}{2}) = 0$,તેથી $0 = \frac{2(\frac{\pi}{2})^2 + C}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{\pi^2}{2} + C$,એટલે કે $C = -\frac{\pi^2}{2}$. વિશિષ્ટ ઉકેલ $y = \frac{2x^2 - \frac{\pi^2}{2}}{\sin x}$ છે. $x = \frac{\pi}{6}$ માટે,$y(\frac{\pi}{6}) = \frac{2(\frac{\pi}{6})^2 - \frac{\pi^2}{2}}{\sin(\frac{\pi}{6})} = \frac{\frac{2\pi^2}{36} - \frac{\pi^2}{2}}{1/2} = 2 \left( \frac{\pi^2}{18} - \frac{\pi^2}{2} \right) = 2 \left( \frac{\pi^2 - 9\pi^2}{18} \right) = 2 \left( \frac{-8\pi^2}{18} \right) = -\frac{8}{9} \pi^2$.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\sin x \frac{dy}{dx}+y \cos x=4x, x \in(0, \pi)$ નો ઉકેલ છે. જો $y\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$ હોય,તો $y\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + y = x^3y^6$ નો ઉકેલ છે:

વિકલ સમીકરણ $(2x + 3y^2) dy = y dx$ $(y > 0)$ માટે સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

જો વિકલ સમીકરણ $(y^3+x) \frac{dy}{dx} = y$ નો ઉકેલ $y(4) = 2$ માટે $y^3 = ax + b$ સ્વરૂપમાં હોય,તો $4a + 12b^2 = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module