मान लीजिए $\alpha$,$x^2+x+1=0$ का एक मूल है और मान लीजिए कि एक निष्पक्ष पासे को $3$ बार फेंका जाता है। यदि $a, b,$ और $c$ पासे पर दिखाई देने वाली संख्याएँ हैं,तो $\alpha^a+\alpha^b+\alpha^c=0$ होने की प्रायिकता क्या है?

एक खेल में, व्यक्ति $A$ द्वारा दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं और व्यक्ति $B$ द्वारा $52$ ताश के पत्तों की एक गड्डी से दो पत्ते यादृच्छिक रूप से एक साथ निकाले जाते हैं। वे खेल जीतते हैं यदि $A$ को दोनों पासों पर दिखाई देने वाली संख्याओं का योग एक अभाज्य संख्या प्राप्त हो और $B$ को एक फेस कार्ड और एक अभाज्य संख्या वाला कार्ड मिले। तो $A$ और $B$ दोनों के जीतने की प्रायिकता क्या है?

दो घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र होंगी,यदि

यदि $A$ और $B$ दो स्वतंत्र घटनाएँ इस प्रकार हैं कि $P(B)=\frac{2}{7}$ और $P\left(A \cup B^c\right)=0.8$, तो $P(A \cup B)$ $=$

स्तंभ-$I$ में दिए गए कथनों को स्तंभ-$II$ के साथ सुमेलित कीजिए।

स्तंभ-$I$	स्तंभ-$II$
$(A)$ मूल बिंदु से जाने वाली एक रेखा,रेखाओं $\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z+1}{1}$ और $\frac{x-\frac{8}{3}}{2}=\frac{y+3}{-1}=\frac{z-1}{1}$ को क्रमशः $P$ और $Q$ पर मिलती है। यदि लंबाई $PQ=d$ है,तो $d^2$ है	$(p)$ $-4$
$(B)$ $\tan ^{-1}(x+3)-\tan ^{-1}(x-3)=\sin ^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ को संतुष्ट करने वाले $x$ के मान हैं	$(q)$ $0$
$(C)$ शून्येतर सदिश $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ समीकरणों $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$,$(\vec{b}-\vec{a}) \cdot(\vec{b}+\vec{c})=0$ और $2|\vec{b}+\vec{c}|=|\vec{b}-\vec{a}|$ को संतुष्ट करते हैं। यदि $\vec{a}=\mu \vec{b}+4 \vec{c}$ है,तो $\mu$ के संभावित मान हैं	$(r)$ $4$
$(D)$ मान लीजिए $f$ अंतराल $[-\pi, \pi]$ पर एक फलन है,जहाँ $f(0)=9$ और $x \neq 0$ के लिए $f(x)=\frac{\sin \left(\frac{9 x}{2}\right)}{\sin \left(\frac{x}{2}\right)}$ है। $\frac{2}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x) dx$ का मान है	$(s)$ $5$
	$(t)$ $6$

दो खिलाड़ी $A$ और $B$ बारी-बारी से एक सिक्का और एक पासा उछालते हैं। जो खिलाड़ी पहले चित (head) और $6$ लाता है, वह खेल जीत जाता है। यदि $A$ खेल शुरू करता है, तो $B$ के खेल जीतने की प्रायिकता क्या है?