ધારો કે $x+y+1=0$ અને $x-y+4=0$ એ અતિવલય $H$ ના અનંતસ્પર્શકો છે. જો $(1,1)$ એ $H$ પરનું બિંદુ હોય,તો $H$ ના નાભિલંબની લંબાઈ શોધો.

નીચે આપેલા અતિવલયોની ઉત્કેન્દ્રતાના મૂલ્યોનો ઉતરતો ક્રમ કયો છે?
$A$. એક અતિવલય કે જેમાં નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર તેની નિયામિકાઓ વચ્ચેના અંતર કરતાં ત્રણ ગણું છે.
$B$. અતિવલય કે જેમાં પ્રધાન અક્ષ એ ગૌણ અક્ષ કરતાં બમણી છે.
$C$. અતિવલય કે જેના અનંતસ્પર્શકો $x+y+1=0$ અને $x-y+3=0$ છે.

ધારો કે બિંદુઓ $P_1\left(\frac{\pi}{4}\right), P_2\left(\frac{3 \pi}{4}\right), P_3\left(\frac{5 \pi}{4}\right)$ અને $P_4\left(\frac{7 \pi}{4}\right)$ જે પ્રચલિત સ્વરૂપમાં આપેલ છે,તે અતિવલય $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$ પર આવેલા છે. તો આ ચાર બિંદુઓ તે ક્રમમાં શું બનાવે છે?

જો $(8,2)$ એ અતિવલય પરનું બિંદુ હોય,જેની અનુપ્રસ્થ અક્ષની લંબાઈ $12$ છે અને સંયુગ્મી અક્ષ $x=0$ છે,તો તે અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

જો અતિવલય $H$ ના નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $26$ હોય અને તેની નિયામિકાઓ વચ્ચેનું અંતર $\frac{50}{13}$ હોય,તો અતિવલય $H$ ના અનુબદ્ધ અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

વિધાન: અતિવલય $9x^2 - 16y^2 = 9$ પરના બિંદુઓ $P(\frac{\pi}{4})$ અને $P(\frac{\pi}{3})$ વચ્ચેનું અંતર $\frac{1}{4} \sqrt{66 - 32\sqrt{2} - 18\sqrt{3}}$ છે.
કારણ: $x = a \cosh t, y = b \sinh t$ એ અતિવલય $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના પ્રચલ સમીકરણો છે.