माना f(x) = (x - a)(x - b) - (frac{a + b}{2}) | vedclass

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Question

(C) दिया गया है,$f(x) = (x - a)(x - b) - (\frac{a + b}{2})$.इसका विस्तार करने पर,$f(x) = x^2 - (a + b)x + ab - (\frac{a + b}{2})$ प्राप्त होता है।द्वि

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$\geq -\frac{(a + b)^2}{4}$

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(C) दिया गया है,$f(x) = (x - a)(x - b) - (\frac{a + b}{2})$.इसका विस्तार करने पर,$f(x) = x^2 - (a + b)x + ab - (\frac{a + b}{2})$ प्राप्त होता है।द्विघात समीकरण $Ax^2 + Bx + C$ का न्यूनतम मान $-\frac{D}{4A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $D = B^2 - 4AC$ है।यहाँ,$A = 1$,$B = -(a + b)$,और $C = ab - \frac{a + b}{2}$ है।$D = (-(a + b))^2 - 4(1)(ab - \frac{a + b}{2}) = (a + b)^2 - 4ab + 2(a + b) = (a - b)^2 + 2(a + b)$ है।न्यूनतम मान $= -\frac{(a - b)^2 + 2(a + b)}{4}$ है।चूँकि मूल अ-ऋणात्मक हैं,मूलों का योग $\alpha + \beta = (a + b) \geq 0$ और मूलों का गुणनफल $\alpha \beta = ab - \frac{a + b}{2} \geq 0$ है।वास्तविक मूलों के लिए $D \geq 0$,जो $(a - b)^2 + 2(a + b) \geq 0$ होने के कारण संतुष्ट होता है।अ-ऋणात्मक मूलों की शर्त के अनुसार,फलन का न्यूनतम मान $x = \frac{a + b}{2}$ पर प्राप्त होता है।$x = \frac{a + b}{2}$ को $f(x)$ में रखने पर:$f(\frac{a + b}{2}) = (\frac{a + b}{2} - a)(\frac{a + b}{2} - b) - \frac{a + b}{2} = (\frac{b - a}{2})(\frac{a - b}{2}) - \frac{a + b}{2} = -\frac{(a - b)^2}{4} - \frac{a + b}{2}$ है।दी गई शर्तों के अनुसार,न्यूनतम मान $\geq -\frac{(a + b)^2}{4}$ है।

माना $f(x) = (x - a)(x - b) - (\frac{a + b}{2})$ है। यदि $f(x) = 0$ के दोनों मूल अ-ऋणात्मक (non-negative) हैं,तो $f(x)$ का न्यूनतम मान क्या है?

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