ધારો કે $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ એવા સદિશો છે કે જેથી $\bar{a} \neq \bar{o}, \bar{b} \neq \bar{o}, \bar{a} \times \bar{c} = \bar{b}$ અને $\bar{b} \times \bar{c} = \bar{a}$ થાય. તો:

જો $\overrightarrow{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$, $\overrightarrow{b}=\hat{i}+\hat{j}$, $\overrightarrow{c}=\hat{i}$ અને $(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) \times \overrightarrow{c}=\lambda \overrightarrow{a}+\mu \overrightarrow{b}$ હોય, તો $\lambda+\mu$ ની કિંમત શોધો.

જો $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$ હોય,તો સાબિત કરો કે $\vec{a} \times \vec{b}=\vec{b} \times \vec{c}=\vec{c} \times \vec{a} .$ આ પરિણામનું ભૌમિતિક અર્થઘટન કરો.

ધારો કે $\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}, \lambda \in R$. જો $\vec{a}$ એવો સદિશ હોય કે જેથી $\vec{a} \times \vec{b}=13 \hat{i}-\hat{j}-4 \hat{k}$ અને $\vec{a} \cdot \vec{b}+21=0$ થાય,તો $(\vec{b}-\vec{a}) \cdot(\hat{k}-\hat{j})+(\vec{b}+\vec{a}) \cdot(\hat{i}-\hat{k})$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે સદિશો $\overline{PQ}, \overline{QR}, \overline{RS}, \overline{ST}, \overline{TU}$ અને $\overline{UP}$ એ એક નિયમિત ષટ્કોણની બાજુઓ દર્શાવે છે.
$\text{વિધાન}-1$: $\overline{PQ} \times (\overline{RS} + \overline{ST}) \neq \overrightarrow{0}$.
$\text{વિધાન}-2$: $\overline{PQ} \times \overline{RS} = \overrightarrow{0}$ અને $\overline{PQ} \times \overline{ST} \neq \overrightarrow{0}$.

ધારો કે $\bar{a}=\alpha \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$,$\bar{b}=3 \hat{i}-\beta \hat{j}+4 \hat{k}$ અને $\overline{c}=\hat{i}+2 \hat{j}-2 \hat{k}$,જ્યાં $\alpha, \beta \in R$,ત્રણ સદિશો છે. જો $\overline{a}$ નો $\overline{c}$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{10}{3}$ હોય અને $\bar{b} \times \bar{c}=-6 \hat{i}+10 \hat{j}+7 \hat{k}$ હોય,તો $2 \alpha+\beta$ ની કિંમત શોધો.