ધારો કે $f(x)=x^2+a x+b$,જ્યાં $a, b \in R$. જો $f(x)=0$ ના તમામ બીજ કાલ્પનિક હોય,તો $f(x)+f^{\prime}(x)+f^{\prime \prime}(x)=0$ ના બીજ કેવા હશે?

ધારો કે $f: R \rightarrow (0, \infty)$ એક બે વાર વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(3) = 18$, $f'(3) = 0$, અને $f''(3) = 4$ થાય. તો $\lim_{x \rightarrow 1} \left( \log_{e} \left( \frac{f(x+2)}{f(3)} \right)^{\frac{18}{(x-1)^{2}}} \right)$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f_1: R \rightarrow R, f_2:\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \rightarrow R, f_3:\left(-1, e^{\frac{\pi}{2}}-2\right) \rightarrow R$ અને $f_4: R \rightarrow R$ એ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત વિધેયો છે:
$(i)$ $f_1(x)=\sin \left(\sqrt{1-e^{-x^2}}\right)$
$(ii)$ $f_2(x)=\begin{cases} \frac{|\sin x|}{\tan^{-1} x} & \text{જો } x \neq 0 \\ 1 & \text{જો } x=0 \end{cases}$,જ્યાં પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેય $\tan^{-1} x$ એ $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ માં કિંમતો ધારણ કરે છે.
$(iii)$ $f_3(x)=\left[\sin \left(\log_e(x+2)\right)\right]$,જ્યાં,$t \in R$ માટે,$[t]$ એ $t$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે.
$(iv)$ $f_4(x)=\begin{cases} x^2 \sin \left(\frac{1}{x}\right) & \text{જો } x \neq 0 \\ 0 & \text{જો } x=0 \end{cases}$

$LIST-I$	$LIST-II$
$P$. વિધેય $f_1$ એ	$1$. $x=0$ આગળ સતત નથી
$Q$. વિધેય $f_2$ એ	$2$. $x=0$ આગળ સતત છે અને $x=0$ આગળ વિકલનીય નથી
$R$. વિધેય $f_3$ એ	$3$. $x=0$ આગળ વિકલનીય છે અને તેનું વિકલિત $x=0$ આગળ સતત નથી
$S$. વિધેય $f_4$ એ	$4$. $x=0$ આગળ વિકલનીય છે અને તેનું વિકલિત $x=0$ આગળ સતત છે

સાચો વિકલ્પ છે:

$p(0)=0$,$x \neq 0$ માટે $p(x) > x^2$ અને $p^{\prime \prime}(0) = \frac{1}{2}$ નું સમાધાન કરતા બહુપદીઓ $p: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $f: ( -\infty, \infty ) \to ( -\infty, \infty )$ એ $f(x) = x^3 + 1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.
વિધાન $1$: વિધેય $f$ ને $x = 0$ આગળ સ્થાનિક અંતિમ મૂલ્ય (local extremum) છે.
વિધાન $2$: વિધેય $f$ એ $( -\infty, \infty )$ પર સતત અને વિકલનીય છે અને $f'(0) = 0$ છે.

વિધેય $f(x) = \begin{cases} 1 + x, & x \le 2 \\ 5 - x, & x > 2 \end{cases}$ એ