मान लीजिए कि (sqrt{2}+sqrt[3]{3})^{6144} के व | vedclass

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Question

(C) $(\sqrt{2}+\sqrt[3]{3})^{6144}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{6144}{r} 2^{(6144-r)/2} 3^{r/3}$ है।पद को परिमेय होने के लिए,$r$ को $3

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-$2$

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(C) $(\sqrt{2}+\sqrt[3]{3})^{6144}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = \binom{6144}{r} 2^{(6144-r)/2} 3^{r/3}$ है।पद को परिमेय होने के लिए,$r$ को $3$ का गुणज होना चाहिए और $6144-r$ को $2$ से विभाज्य होना चाहिए।अतः,$r$ को $6$ का गुणज होना चाहिए। $0 \le r \le 6144$ होने के कारण,$r = 6k$ जहाँ $0 \le k \le 1024$ है।इसलिए,$K = 1025$ है।अब,$f(x) = \frac{1-x}{1-x^{32}} = (1-x)(1+x^{32}+x^{64}+\dots)$ है।अतः,$\alpha_P = 1$ यदि $P$ $32$ का गुणज है,$\alpha_P = -1$ यदि $P-1$ $32$ का गुणज है,और अन्यथा $0$ है।$K = 1025$ के लिए,$\alpha_{1025} = -1$,$\alpha_{1026} = 0$,और $\alpha_{1024} = 1$ है।इसलिए,$\alpha_{K}-\alpha_{K+1}-\alpha_{K-1} = -1 - 0 - 1 = -2$।

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यदि $(1+x)^{p}(1-x)^{q}$ के विस्तार में,जहाँ $p, q \leq 15$,$x$ और $x^{2}$ के गुणांक क्रमशः $-3$ और $-5$ हैं,तो $x^{3}$ का गुणांक $............$ के बराबर है।

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