मान लीजिए कि f(x) सभी x 0 के लिए परिभाषित ह | vedclass

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Question

(A) दिया गया फलन समीकरण $f\left( \frac{x}{y} \right) = f(x) - f(y)$ है।$y = 1$ रखने पर,हमें $f(x) = f(x) - f(1)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $f(1

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$f(x) = \ln x$

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(A) दिया गया फलन समीकरण $f\left( \frac{x}{y} ight) = f(x) - f(y)$ है।$y = 1$ रखने पर,हमें $f(x) = f(x) - f(1)$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $f(1) = 0$.किसी भी $x, y > 0$ के लिए,समीकरण $f\left( \frac{x}{y} ight) = f(x) - f(y)$ लघुगणकीय फलन (logarithmic function) की विशेषता है।मान लीजिए $f(x) = c \ln x$.शर्त $f(e) = 1$ का उपयोग करने पर,$c \ln e = 1$,जिससे $c(1) = 1$,अतः $c = 1$.इस प्रकार,$f(x) = \ln x$.विकल्पों की जाँच करने पर:$(A)$ $f(x) = \ln x$ सही है।$(B)$ $f(x) = \ln x$ अंतराल $(0, \infty)$ पर परिबद्ध नहीं है।$(C)$ जैसे $x 	o 0$,$f\left( \frac{1}{x} ight) = \ln\left( \frac{1}{x} ight) = -\ln x 	o \infty$.$(D)$ जैसे $x 	o 0$,$x f(x) = x \ln x$. $L$'Hopital के नियम का उपयोग करने पर,$\lim_{x 	o 0} \frac{\ln x}{1/x} = \lim_{x 	o 0} \frac{1/x}{-1/x^2} = \lim_{x 	o 0} (-x) = 0 
eq 1$.

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