मान लीजिए कि क्षेत्र {(x, y): 2y leq x^2+3, y | vedclass

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Question

(A) यह क्षेत्र परवलय $y = \frac{x^2+3}{2}$,रेखाओं $y = 3-|x|$,और $y = |x-1|$ द्वारा घिरा हुआ है।प्रतिच्छेदन बिंदुओं का विश्लेषण करने पर:$1$. परवलय $y

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$16$

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(A) यह क्षेत्र परवलय $y = \frac{x^2+3}{2}$,रेखाओं $y = 3-|x|$,और $y = |x-1|$ द्वारा घिरा हुआ है।प्रतिच्छेदन बिंदुओं का विश्लेषण करने पर:$1$. परवलय $y = \frac{x^2+3}{2}$ और रेखा $y = 3-x$ बिंदु $x=1, y=2$ (बिंदु $C$) पर प्रतिच्छेद करते हैं।$2$. परवलय $y = \frac{x^2+3}{2}$ और रेखा $y = 3+x$ बिंदु $x=-1, y=2$ (बिंदु $E$) पर प्रतिच्छेद करते हैं।$3$. रेखा $y = 3-x$ और $y = x-1$ बिंदु $x=2, y=1$ (बिंदु $B$) पर प्रतिच्छेद करते हैं।$4$. रेखा $y = x-1$ और $y = 0$ बिंदु $x=1, y=0$ (बिंदु $A$) पर प्रतिच्छेद करते हैं।क्षेत्रफल $A$ ऊपरी सीमा और निचली सीमा के बीच के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है।$A = \int_{-1}^{1} (3-|x| - \frac{x^2+3}{2}) dx + \int_{1}^{2} (3-x - (x-1)) dx$$A = \int_{-1}^{1} (\frac{3}{2} - |x| - \frac{x^2}{2}) dx + \int_{1}^{2} (4-2x) dx$$A = 2 \int_{0}^{1} (\frac{3}{2} - x - \frac{x^2}{2}) dx + [4x - x^2]_1^2$$A = 2 [\frac{3}{2}x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}]_0^1 + (8-4) - (4-1)$$A = 2 (\frac{3}{2} - \frac{1}{2} - \frac{1}{6}) + 1 = 2(\frac{5}{6}) + 1 = \frac{5}{3} + 1 = \frac{8}{3}$.अतः $6A = 6 	imes \frac{8}{3} = 16$.

मान लीजिए कि क्षेत्र $\{(x, y): 2y \leq x^2+3, y +|x| \leq 3, y \geq|x-1|\}$ का क्षेत्रफल $A$ है। तो $6A$ का मान ज्ञात कीजिए:

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परवलयों $x^2 = \frac{y}{4}$ और $x^2 = 9y$ तथा रेखा $y = 2$ के बीच घिरा हुआ क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

यदि वक्रों $y^2-2y=-x$ और $x+y=0$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$ है,तो $8A$ का मान ज्ञात कीजिए।

क्षेत्र $\{(x,y):y^2 \geq 2x, x^2+y^2 \leq 4x, x \geq 0, y \leq 0 \}$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

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