मान लीजिए कि फलन g : (-infty, infty) to left( | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $g(u) = 2 	an^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}$.विषम/सम की जाँच करने के लिए,हम $g(-u)$ का मूल्यांकन करते हैं:$g(-u) = 2 	an^{-1}(e^{-u}) -

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विषम है और $(-\infty, \infty)$ में निरंतर वर्धमान है

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $g(u) = 2 	an^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}$.विषम/सम की जाँच करने के लिए,हम $g(-u)$ का मूल्यांकन करते हैं:$g(-u) = 2 	an^{-1}(e^{-u}) - \frac{\pi}{2}$$= 2 	an^{-1}\left(\frac{1}{e^u}ight) - \frac{\pi}{2}$सर्वसमिका $	an^{-1}(x) + \cot^{-1}(x) = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $	an^{-1}\left(\frac{1}{e^u}ight) = \cot^{-1}(e^u) = \frac{\pi}{2} - 	an^{-1}(e^u)$ है।इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर:$g(-u) = 2 \left[ \frac{\pi}{2} - 	an^{-1}(e^u) ight] - \frac{\pi}{2}$$= \pi - 2 	an^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}$$= \frac{\pi}{2} - 2 	an^{-1}(e^u)$$= - \left( 2 	an^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2} ight) = -g(u)$.चूंकि $g(-u) = -g(u)$,फलन विषम है।अब,अवकलज ज्ञात करके एकदिष्टता की जाँच करें:$g'(u) = 2 \cdot \frac{1}{1 + (e^u)^2} \cdot e^u = \frac{2e^u}{1 + e^{2u}}$.चूंकि सभी $u \in (-\infty, \infty)$ के लिए $e^u > 0$,इसलिए $g'(u) > 0$ है।अतः,$g(u)$ अंतराल $(-\infty, \infty)$ में निरंतर वर्धमान है।

मान लीजिए कि फलन $g : (-\infty, \infty) \to \left( - \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right)$,$g(u) = 2 \tan^{-1}(e^u) - \frac{\pi}{2}$ द्वारा दिया गया है। तो,$g$ है -

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