सिद्ध कीजिए कि संख्या $\sqrt{3}+\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(N/A) मान लीजिए कि इसके विपरीत,$\sqrt{3}+\sqrt{7}$ एक परिमेय संख्या है। माना $\sqrt{3}+\sqrt{7} = r$,जहाँ $r$ एक परिमेय संख्या है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $(\sqrt{3}+\sqrt{7})^2 = r^2$.
$3 + 7 + 2\sqrt{21} = r^2$.
$10 + 2\sqrt{21} = r^2$.
$2\sqrt{21} = r^2 - 10$.
$\sqrt{21} = \frac{r^2 - 10}{2}$.
चूँकि $r$ एक परिमेय संख्या है,इसलिए $r^2$ भी एक परिमेय संख्या है। अतः,$\frac{r^2 - 10}{2}$ एक परिमेय संख्या है।
यह दर्शाता है कि $\sqrt{21}$ एक परिमेय संख्या है।
हालाँकि,हम जानते हैं कि $\sqrt{21}$ एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि $21$ एक पूर्ण वर्ग नहीं है।
यह हमारी इस धारणा का विरोधाभास है कि $\sqrt{3}+\sqrt{7}$ परिमेय है।
अतः,हमारी धारणा गलत है,और $\sqrt{3}+\sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या ही होनी चाहिए।