सिद्ध कीजिए कि सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $(1 + x)^n \ge (1 + nx),$ जहाँ $x > -1.$

(N/A) माना $P(n)$ दिया गया कथन है,अर्थात $P(n): (1 + x)^n \ge (1 + nx)$ जहाँ $x > -1.$
हम देखते हैं कि जब $n = 1$ है तो $P(n)$ सत्य है,क्योंकि $x > -1$ के लिए $(1 + x) \ge (1 + x).$
माना कि $P(k): (1 + x)^k \ge (1 + kx)$ जहाँ $x > -1$ सत्य है। $(1)$
हम सिद्ध करना चाहते हैं कि जब भी $P(k)$ सत्य है,तो $x > -1$ के लिए $P(k + 1)$ सत्य है। $(2)$
सर्वसमिका $(1 + x)^{k+1} = (1 + x)^k(1 + x)$ पर विचार करें।
दिया गया है कि $x > -1,$ इसलिए $(1 + x) > 0.$
अतः,$(1 + x)^k \ge (1 + kx)$ का उपयोग करके,हमारे पास $(1 + x)^{k+1} \ge (1 + kx)(1 + x)$ है।
अर्थात,$(1 + x)^{k+1} \ge (1 + x + kx + kx^2).$ $(3)$
यहाँ $k$ एक प्राकृतिक संख्या है और $x^2 \ge 0,$ इसलिए $kx^2 \ge 0.$ अतः,$(1 + x + kx + kx^2) \ge (1 + x + kx).$
और इस प्रकार हमें $(1 + x)^{k+1} \ge (1 + (1 + k)x)$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$(2)$ में दिया गया कथन सिद्ध होता है। अतः,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,$P(n)$ सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सत्य है।