સાબિત કરો કે $\sqrt{3}$ અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{3}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.
એટલે કે,આપણે એવા પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ શોધી શકીએ કે જેથી $\sqrt{3} = \frac{a}{b}$ થાય.
ધારો કે $a$ અને $b$ માં $1$ સિવાયનો કોઈ સામાન્ય અવયવ છે. તો આપણે તે સામાન્ય અવયવ વડે ભાગાકાર કરીને એવું માની શકીએ કે $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે.
તેથી,$b\sqrt{3} = a$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $3b^2 = a^2$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $a^2$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે,અને અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$a$ પણ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
તેથી,આપણે કોઈ પૂર્ણાંક $c$ માટે $a = 3c$ લખી શકીએ.
$3b^2 = a^2$ માં $a = 3c$ મૂકતા,આપણને $3b^2 = (3c)^2 = 9c^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $b^2 = 3c^2$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $b^2$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે,અને પરિણામે,$b$ પણ $3$ વડે વિભાજ્ય છે.
તેથી,$a$ અને $b$ બંનેમાં ઓછામાં ઓછો $3$ સામાન્ય અવયવ છે.
પરંતુ આ હકીકતનો વિરોધાભાસ કરે છે કે $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે.
આ વિરોધાભાસ આપણી ખોટી ધારણાને કારણે ઉભો થયો છે કે $\sqrt{3}$ સંમેય છે. તેથી,આપણે નિષ્કર્ષ કાઢીએ છીએ કે $\sqrt{3}$ અસંમેય છે.