સાબિત કરો કે $\sqrt{2}$ અસંમેય છે.

(A) ધારો કે,તેનાથી વિરુદ્ધ,$\sqrt{2}$ સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,પરસ્પર અવિભાજ્ય પૂર્ણાંકો $a$ અને $b$ $(b \neq 0)$ એવા મળે કે જેથી $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$ થાય.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $2 = \frac{a^2}{b^2}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $a^2 = 2b^2$.
આનો અર્થ એ છે કે $a^2$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે,અને પરિણામે,$a$ પણ $2$ વડે વિભાજ્ય છે (અંકગણિતના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ).
તેથી,આપણે $a = 2k$ લખી શકીએ,જ્યાં $k$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.
આ કિંમતને $a^2 = 2b^2$ માં મૂકતા,આપણને $(2k)^2 = 2b^2$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $4k^2 = 2b^2$ અથવા $b^2 = 2k^2$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $b^2$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે,અને પરિણામે,$b$ પણ $2$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$a$ અને $b$ બંનેનો સામાન્ય અવયવ ઓછામાં ઓછો $2$ છે,જે આપણી ધારણા કે $a$ અને $b$ પરસ્પર અવિભાજ્ય છે તેનો વિરોધાભાસ કરે છે.
તેથી,આપણી ધારણા ખોટી છે,અને $\sqrt{2}$ અસંમેય છે.