गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए:
$1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}=\frac{3^{n}-1}{2}$
$1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}=\frac{3^{n}-1}{2}$
(N/A) माना कि दिया गया कथन $P(n)$ है,अर्थात
$P(n): 1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}=\frac{3^{n}-1}{2}$
$n=1$ के लिए,
$P(1): 1 = \frac{3^{1}-1}{2} = \frac{2}{2} = 1,$ जो सत्य है।
माना कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात
$1+3+3^{2}+\ldots+3^{k-1} = \frac{3^{k}-1}{2}$ $(i)$
अब हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ सत्य है।
$(k+1)$ पदों तक के योग पर विचार करें:
$1+3+3^{2}+\ldots+3^{k-1}+3^{(k+1)-1}$
$= (1+3+3^{2}+\ldots+3^{k-1}) + 3^{k}$
$= \frac{3^{k}-1}{2} + 3^{k}$ [$(i)$ का उपयोग करते हुए]
$= \frac{3^{k}-1 + 2 \cdot 3^{k}}{2}$
$= \frac{(1+2) \cdot 3^{k} - 1}{2}$
$= \frac{3 \cdot 3^{k} - 1}{2}$
$= \frac{3^{k+1}-1}{2}$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन $P(n)$ सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \in N$ के लिए सत्य है।
$P(n): 1+3+3^{2}+\ldots+3^{n-1}=\frac{3^{n}-1}{2}$
$n=1$ के लिए,
$P(1): 1 = \frac{3^{1}-1}{2} = \frac{2}{2} = 1,$ जो सत्य है।
माना कि किसी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $P(k)$ सत्य है,अर्थात
$1+3+3^{2}+\ldots+3^{k-1} = \frac{3^{k}-1}{2}$ $(i)$
अब हम सिद्ध करेंगे कि $P(k+1)$ सत्य है।
$(k+1)$ पदों तक के योग पर विचार करें:
$1+3+3^{2}+\ldots+3^{k-1}+3^{(k+1)-1}$
$= (1+3+3^{2}+\ldots+3^{k-1}) + 3^{k}$
$= \frac{3^{k}-1}{2} + 3^{k}$ [$(i)$ का उपयोग करते हुए]
$= \frac{3^{k}-1 + 2 \cdot 3^{k}}{2}$
$= \frac{(1+2) \cdot 3^{k} - 1}{2}$
$= \frac{3 \cdot 3^{k} - 1}{2}$
$= \frac{3^{k+1}-1}{2}$
अतः,जब $P(k)$ सत्य है तो $P(k+1)$ भी सत्य है।
इसलिए,गणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा,कथन $P(n)$ सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \in N$ के लिए सत्य है।
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गणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके दर्शाइए कि एक अनुक्रम $d_{1}, d_{2}, d_{3}, \ldots$ के लिए,जहाँ $d_{1}=2$ और $d_{k}=\frac{d_{k-1}}{k}$ सभी $k \geq 2$ के लिए परिभाषित है,तब इसका सामान्य पद $d_{n}=\frac{2}{n!}$ सभी $n \in N$ के लिए होता है।
Difficult
View Solutionगणितीय आगमन के सिद्धांत का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि सभी $n \in N$ के लिए जहाँ $n \geq 2$:
$\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{4^{2}}\right) \ldots \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)=\frac{n+1}{2n}$
$\left(1-\frac{1}{2^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2}}\right)\left(1-\frac{1}{4^{2}}\right) \ldots \left(1-\frac{1}{n^{2}}\right)=\frac{n+1}{2n}$
Difficult
View Solutionगणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $n^{3}-7n+3$,$3$ से विभाज्य है।
Easy
View Solutionगणितीय आगमन के सिद्धांत द्वारा सिद्ध कीजिए कि: सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए $1+2+2^{2}+\ldots+2^{n}=2^{n+1}-1$.
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View Solutionसिद्ध कीजिए कि $1^{2} + 2^{2} + \ldots + n^{2} > \frac{n^{3}}{3}$ सभी $n \in N$ के लिए।
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