સાબિત કરો કે તમામ $n \in N$ માટે,$3^{2n+2} - 8n - 9$ એ $8$ વડે વિભાજ્ય છે,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને.

(N/A) ધારો કે આપેલ વિધાન $P(n)$ છે,એટલે કે $P(n): 3^{2n+2} - 8n - 9$ એ $8$ વડે વિભાજ્ય છે.
પગલું $1$: $n = 1$ માટે,$3^{2(1)+2} - 8(1) - 9 = 81 - 17 = 64$. $64$ એ $8$ વડે વિભાજ્ય હોવાથી,$P(1)$ સત્ય છે.
પગલું $2$: ધારો કે કોઈ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $P(k)$ સત્ય છે,એટલે કે $3^{2k+2} - 8k - 9 = 8m$ કોઈ $m \in N$ માટે. તેથી,$3^{2k+2} = 8m + 8k + 9$.
પગલું $3$: આપણે દર્શાવવું છે કે $P(k+1)$ સત્ય છે,એટલે કે $3^{2(k+1)+2} - 8(k+1) - 9$ એ $8$ વડે વિભાજ્ય છે.
$3^{2k+4} - 8k - 8 - 9 = 3^2 \cdot 3^{2k+2} - 8k - 17$ ધ્યાનમાં લો.
$3^{2k+2} = 8m + 8k + 9$ મૂકતા:
$= 9(8m + 8k + 9) - 8k - 17$
$= 72m + 72k + 81 - 8k - 17$
$= 72m + 64k + 64$
$= 8(9m + 8k + 8)$.
આ $8$ નો ગુણક હોવાથી,$P(k+1)$ સત્ય છે.
આમ,ગાણિતિક અનુમાનના સિદ્ધાંત દ્વારા,$P(n)$ તમામ $n \in N$ માટે સત્ય છે.