मान लीजिए कि $1, 2, 3, 4$ लेबल वाली चार गेंदों को यादृच्छिक रूप से बक्सों $B_1, B_2, B_3, B_4$ में रखा जाता है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि ठीक एक बक्सा खाली हो?

बॉक्स $1$ में $1, 2, 3$ नंबर वाले तीन कार्ड हैं; बॉक्स $2$ में $1, 2, 3, 4, 5$ नंबर वाले पांच कार्ड हैं; और बॉक्स $3$ में $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ नंबर वाले सात कार्ड हैं। प्रत्येक बॉक्स से एक कार्ड निकाला जाता है। मान लीजिए $x_i$ $i$-वें बॉक्स से निकाले गए कार्ड पर की संख्या है,$i = 1, 2, 3$.
$1.$ $x_1 + x_2 + x_3$ विषम होने की प्रायिकता है:
$(A) \frac{29}{105}$ $(B) \frac{53}{105}$ $(C) \frac{57}{105}$ $(D) \frac{1}{2}$
$2.$ $x_1, x_2, x_3$ के समांतर श्रेणी में होने की प्रायिकता है:
$(A) \frac{9}{105}$ $(B) \frac{10}{105}$ $(C) \frac{11}{105}$ $(D) \frac{7}{105}$
प्रश्न $1$ और $2$ के उत्तर दें।

एक व्यक्ति बार-बार एक निष्पक्ष सिक्का उछालता है। उसे प्रत्येक चित (head) के लिए $10$ अंक और प्रत्येक पट (tail) के लिए $5$ अंक मिलते हैं। यदि उसे ठीक $30$ अंक प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{m}{n}$ है, जहाँ $\text{gcd}(m, n) = 1$, तो $m + n$ का मान ज्ञात कीजिए:

एक बॉक्स $B_1$ में $1$ सफेद गेंद,$3$ लाल गेंदें और $2$ काली गेंदें हैं। दूसरे बॉक्स $B_2$ में $2$ सफेद गेंदें,$3$ लाल गेंदें और $4$ काली गेंदें हैं। तीसरे बॉक्स $B_3$ में $3$ सफेद गेंदें,$4$ लाल गेंदें और $5$ काली गेंदें हैं।
$1.$ यदि प्रत्येक बॉक्स $B_1, B_2$ और $B_3$ में से $1$ गेंद निकाली जाती है,तो तीनों गेंदों के एक ही रंग के होने की प्रायिकता क्या है?
$(A)$ $\frac{82}{648}$ $(B)$ $\frac{90}{648}$ $(C)$ $\frac{558}{648}$ $(D)$ $\frac{566}{648}$
$2.$ यदि यादृच्छिक रूप से चुने गए बॉक्स से $2$ गेंदें (बिना प्रतिस्थापन के) निकाली जाती हैं और उनमें से एक गेंद सफेद और दूसरी लाल है,तो इन $2$ गेंदों के बॉक्स $B_2$ से निकाले जाने की प्रायिकता क्या है?
$(A)$ $\frac{116}{181}$ $(B)$ $\frac{126}{181}$ $(C)$ $\frac{65}{181}$ $(D)$ $\frac{55}{181}$
प्रश्न $1$ और $2$ के लिए सही विकल्प चुनें।

$A$ और $B$ प्रत्येक $1, 2, 3, \ldots, n$ भिन्न संख्याओं में से एक संख्या यादृच्छिक रूप से चुनते हैं। $A$ द्वारा चुनी गई संख्या $B$ द्वारा चुनी गई संख्या से कम होने की प्रायिकता $\frac{1009}{2019}$ है। तो $B$ द्वारा चुनी गई संख्या के $A$ द्वारा चुनी गई संख्या के ठीक बाद वाली संख्या होने की प्रायिकता क्या है?

एक संख्या $n$ को समुच्चय $\{1, 2, 3, \dots, 1000\}$ से यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि $\frac{\sum_{i=1}^n i^2}{\sum_{i=1}^n i}$ एक पूर्णांक है?