क्षेत्र {(x, y) in R^{2} | 4 x^{2} leq y leq | vedclass

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Question

(D) यह क्षेत्र परवलय $y = 4x^2$ और रेखा $y = 8x + 12$ द्वारा घिरा हुआ है।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$4x^2 = 8x + 12$ रखें।$4x^2 - 8x - 12 = 0

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$\frac{128}{3}$

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(D) यह क्षेत्र परवलय $y = 4x^2$ और रेखा $y = 8x + 12$ द्वारा घिरा हुआ है।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$4x^2 = 8x + 12$ रखें।$4x^2 - 8x - 12 = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0$.$(x - 3)(x + 1) = 0$,अतः $x = -1$ और $x = 3$.प्रतिच्छेदन बिंदु $A(-1, 4)$ और $B(3, 36)$ हैं।आवश्यक क्षेत्रफल $x = -1$ से $x = 3$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:क्षेत्रफल $= \int_{-1}^{3} (8x + 12 - 4x^2) dx$$= [4x^2 + 12x - \frac{4x^3}{3}]_{-1}^{3}$$= (4(9) + 12(3) - \frac{4(27)}{3}) - (4(1) + 12(-1) - \frac{4(-1)}{3})$$= (36 + 36 - 36) - (4 - 12 + \frac{4}{3})$$= 36 - (-8 + \frac{4}{3}) = 36 - (-\frac{20}{3}) = 36 + \frac{20}{3} = \frac{108 + 20}{3} = \frac{128}{3}$ वर्ग इकाई।

क्षेत्र $\{(x, y) \in R^{2} | 4 x^{2} \leq y \leq 8 x+12\}$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है:

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