परवलय (y-2)^2 = x-1,बिंदु (2,3) पर परवलय की स | vedclass

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Question

(B) परवलय का समीकरण $(y-2)^2 = x-1$ है।बिंदु $(2,3)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y-y_1 = m(x-x_1)$ सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।सबसे पहले,पर

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$9$

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(B) परवलय का समीकरण $(y-2)^2 = x-1$ है।बिंदु $(2,3)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y-y_1 = m(x-x_1)$ सूत्र का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।सबसे पहले,परवलय समीकरण का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2(y-2) \frac{dy}{dx} = 1$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(y-2)}$.$(2,3)$ पर,ढाल $m = \frac{1}{2(3-2)} = \frac{1}{2}$ है।स्पर्श रेखा का समीकरण $y-3 = \frac{1}{2}(x-2)$ है,जिसे सरल करने पर $2y-6 = x-2$ या $x = 2y-4$ प्राप्त होता है।यह क्षेत्र परवलय $x = (y-2)^2 + 1$,स्पर्श रेखा $x = 2y-4$ और $x$-अक्ष $(y=0)$ द्वारा परिबद्ध है।$y$ के सापेक्ष $y=0$ से $y=3$ तक समाकलन करने पर:क्षेत्रफल $A = \int_{0}^{3} [x_{parabola} - x_{tangent}] dy = \int_{0}^{3} [((y-2)^2 + 1) - (2y-4)] dy$$A = \int_{0}^{3} [y^2 - 4y + 4 + 1 - 2y + 4] dy = \int_{0}^{3} [y^2 - 6y + 9] dy$$A = \int_{0}^{3} (y-3)^2 dy = \left[ \frac{(y-3)^3}{3} \right]_{0}^{3} = 0 - \left( \frac{-27}{3} \right) = 9$.

परवलय $(y-2)^2 = x-1$,बिंदु $(2,3)$ पर परवलय की स्पर्श रेखा और $x$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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