$(1 + x)^2 (1 + x^2)^3 (1 + x^3)^4$ ના વિસ્તરણમાં $x^{10}$ નો સહગુણક કેટલો થાય?

$x > 1$ માટે $(x + \sqrt{x^3 - 1})^6 + (x - \sqrt{x^3 - 1})^6$ ના વિસ્તરણમાં $x$ ના તમામ યુગ્મ ઘાતવાળા પદોના સહગુણકોનો સરવાળો કેટલો થાય?

ધારો કે $\alpha = \sum_{r=0}^{n} (4r^2+2r+1) {}^{n}C_{r}$ અને $\beta = \left(\sum_{r=0}^{n} \frac{{}^{n}C_{r}}{r+1}\right) + \frac{1}{n+1}$. જો $140 < \frac{2\alpha}{\beta} < 281$ હોય,તો $n$ નું મૂલ્ય ............... છે.

દ્વિપદી પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને $(1+2a)^{4}(2-a)^{5}$ ના ગુણાકારમાં $a^{4}$ નો સહગુણક શોધો.

$(1-x)^{30} (1 + x + x^2)^{29}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{37}$ નો સહગુણક શોધો:

ધારો કે $P(x) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5$. જ્યારે $P(x^{12})$ ને $P(x)$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શું મળે?